ڕه‌گی دووجای دوو ژماره‌یه‌كی ناڕێژه‌ییه‌

گه‌ر له‌ كۆمه‌ڵێك بیركاریزان بپرسیت  كه‌ ئایا جوانترین بیردۆزی بیركاری له‌لاتان چیه‌؟ ئه‌وا زۆرێك له‌و وه‌ڵامانه‌ی به‌رگوێت ده‌كه‌ویت بریتی ده‌بێت له‌ ناڕێژه‌ییبوونی \sqrt 2 كه‌له‌لایه‌ن فیساگۆرس و شوێنكه‌وتووه‌كانیه‌وه‌ سه‌لمێنراوه‌.

واته‌ فیساگۆرسیه‌كان سه‌لماندیان كه‌ \sqrt{2}ژماره‌یه‌كی ناڕێژه‌ییه‌ ( Irrational Number).

به‌لام سه‌ره‌تا ده‌بیت باس له‌وه‌ بكه‌ین كه‌ ئایا ژماره‌ی ناڕێژه‌یی چیه‌؟

پێناسه‌ی ژماره‌یی ناڕێژه‌یی:- به‌ژماره‌یه‌كی ڕاستی (Real number) ده‌وترێت ناڕێژه‌یی گه‌ر هاتوو ڕێژه‌یی نه‌بوو.

گه‌ر كه‌سێك له‌بیركاری كه‌مێك شاره‌زا نه‌بێت  و ئه‌م پێناسه‌یه‌ی سه‌ره‌وه‌ی بۆ بخوێنیته‌وه‌ ، له‌وانیه‌ واهه‌ستبكات گاڵته‌ی له‌گه‌ل ده‌كه‌یت یاخود نوكته‌ی بۆ ده‌ڵێت { ناهه‌قیشی نیه‌)  ، چونكه‌ له‌ پێناسه‌كه‌ی سه‌ره‌وه‌ هه‌ستده‌كه‌یت گه‌مه‌كردنێك هه‌یه‌ به‌ ووشه‌ { وه‌كو ئه‌وه‌ وایه‌ كه‌سێك پێناسه‌ی شتیكی بۆن ناخۆشت بۆ بكات و  بڵێت هه‌ر شتێك  بۆنی خۆش نه‌بێت ئه‌وا ناخۆشه‌ !}. به‌هه‌رحاڵ ، بۆ ئێمه‌ی بیركاریزان ئه‌م جۆره‌ پێناسانه‌ زۆر ئاسایین و له‌سه‌رجه‌م ئه‌ده‌بیاتی بیركاریدا به‌ئاشكرا بوونی هه‌یه‌ و ڕاهاتووین له‌گه‌ڵی.

با بگه‌رێنه‌وه‌ بۆ پێناسه‌كه‌ كه‌ باسی ژماره‌یی  ڕێژه‌یی (rational number) مان كردووه‌، كه‌واته‌ بۆ تێگه‌یشتن له‌ ژماره‌ی ناڕێژه‌یی ده‌بێت سه‌ره‌تا باس له‌ژماره‌ی ڕێژه‌یی بكه‌یت، وه‌ هه‌ڵبه‌ت له‌ڕووی مێژوویشه‌وه‌ ئه‌مه‌ گونجاوه‌، چونكه‌ مێژووی دروستبوونی ژماره‌ی ڕێژه‌یی ده‌كه‌وێته‌ پێش مێژووی له‌دایكبوونی ژماره‌ ناڕێژه‌یه‌كان، وه‌ له‌دایكبوونه‌كه‌یشی زه‌حمه‌تی زۆری پێوه‌كێشرا ( به‌لایه‌نی كه‌مه‌وه‌ نه‌فه‌رێك له‌سه‌ر ژماره‌ ناڕێژه‌یه‌كان كوژرا).

پێناسه‌ی ژماره‌یی ڕێژه‌یی:- به‌ژماره‌یه‌كی راستی  ده‌وترێت ڕێژه‌یی گه‌ر هاتوو بتوانرێت به‌شێوه‌ی كه‌رتی وه‌كو \frac{a}{b} بنوسرێت كاتێك هه‌ریه‌كه‌ له‌ ژماره‌كانی  a,b  ژماره‌ی ته‌واو (integers) بن، وه‌ مه‌رجیشه‌  b\ne0 .

له‌پێناسه‌كه‌وه‌ هه‌ستده‌كه‌یت كه‌ هه‌موو ژماره‌یه‌كی ته‌واو ژماره‌یه‌كی ڕێژه‌ییه‌، بو نموونه‌ -7 ده‌توانرێت  به‌م شێوه‌یه‌ \frac{-7}{1} بنووسرێت .به‌لام به‌دڵنیایه‌وه‌ مه‌رج نیه‌ ژماره‌ی ڕێژه‌یی  ژماره‌یه‌كی ته‌واو بێت. بۆ ئه‌مه‌یش نموونه‌مان هه‌یه‌ . \frac{22}{7} ژماره‌یه‌كی ڕێژه‌ییه‌ به‌لام ژماره‌یه‌كی ته‌واو نیه‌!   وه‌ ئێمه‌ی بیركاریزان ئه‌م قسه‌یه‌ی سه‌ره‌وه‌ له‌ ده‌سته‌واژه‌یه‌كدا كۆده‌كه‌ینه‌وه‌ كه‌ ده‌ڵێت ژماره‌ ته‌واوه‌كان به‌شه‌كۆمه‌له‌یه‌كه‌ له‌ ژماره‌ ڕێژه‌ییه‌كان وه‌ گه‌ر به‌شێوه‌یه‌كی فه‌رمی به‌م شێوه‌یه‌ ده‌نوسرێت \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} .

ئێستا دوای ئه‌وه‌ی زانیمان پێناسه‌ی ژماره‌ی ناڕێژه‌یی چیه‌ كاتی ئه‌وه‌ هاتووه‌ كۆمه‌ڵێك نموونه‌ی له‌سه‌ر بخه‌ینه‌ ڕوو ، ئه‌مانه‌ی خواره‌وه‌ له‌به‌ناوبانگترین ژماره‌ ناڕێژه‌ییه‌كانن:-

  • \sqrt 2  ( یان ڕه‌گی دووجای هه‌ر ژماره‌یه‌كی خۆبه‌ش ! ).
  • \pi  پای یاخود ڕێژه‌ی نه‌گۆڕ كه‌ به‌نزیكی ده‌كاته‌ 3.14
  • \mathrm{e}  ژماره‌ی ئۆیله‌ر.كه‌ به‌نزیكی ده‌كاته‌ 2.71 .

ئه‌م ژمارانه‌ی سه‌ره‌وه‌ هه‌موویان نارێژه‌یین. به‌لام ته‌نها باس له‌ سه‌لماندنی یه‌كه‌م  ده‌كه‌ین چونكه‌ ئه‌وانی تر كه‌مێك پێشكه‌وتوترن و پیویست به‌ زانیاری زیاتر هه‌یه‌ ، سه‌لماندنه‌كه‌ی ڕه‌گی دوو  قوتابی قوناغی ناوه‌ندیش لێیحالیده‌بێت. به‌لام دوو ژماره‌كه‌ی تر بۆ سه‌لماندنیان پێویستیمان به‌كه‌مێك میتۆدی تر ده‌بێت كه‌ زیاتر له‌ زانكۆ ده‌خوێنرێت.

بۆیه‌ ئێمه‌ لێره‌دا ته‌نها یه‌كه‌م ژماره‌ ده‌سه‌لمێنین كه‌ ناڕێژییه‌، تاوه‌كو زۆرترین خوێنه‌ر سودی ڵێوه‌ربگرێت.

بیردۆز:-  \sqrt 2 ژماره‌یه‌كی نارێژه‌ییه‌ .

سه‌لماندن:- بۆ سه‌لماندنی ئه‌م بیردۆزه‌ میتۆدی دژیه‌ك به‌كارده‌هێنین (contraduction Method) سه‌ره‌تا واداده‌نێین كه‌   \sqrt 2 ژماره‌یه‌كی ڕێژه‌ییه‌، واته‌ ده‌توانین به‌م شێوه‌یه‌ بینوسین\sqrt{2} =\frac{a}{b}، له‌هه‌مانكاتدا واداده‌نێین كه‌رته‌كه‌ ساده‌ترین شێوه‌ی یان باری هه‌یه‌ (simplest form )، به‌مانایه‌كی تر هه‌ردوو ژماره‌ی   a,b ته‌نها یه‌ك كۆلكه‌ی هاوبه‌شیان هه‌یه‌ ئه‌ویش 1 ه‌ . ( بو نموونه‌ 2 وه‌ 4كۆلكه‌ی هاوبه‌شی نێوانیان2,1 به‌لام كۆلكه‌ی هاوبه‌شی نێوان 4,9  ته‌نها ده‌كاته‌ 1){ ده‌كرێت بشلین كه‌ هه‌ردوو ژماره‌ی a,b ده‌بێت كۆخۆبه‌ش بن coprime }. ئێستا ئه‌م هاوكێشه‌یه‌مان هه‌یه‌:-

\sqrt{2} =\frac{a}{b}

هه‌ڵده‌ستین به‌ دووجاكردنی هه‌ردوولا

2=\frac{a^2}{b^2}

پاشان دوولاو دوو نێوان ده‌كه‌ین { هه‌رچه‌نده‌ ئه‌م ده‌سته‌واژه‌یه‌ راسته‌ له‌ڕووی زانسیته‌وه‌ به‌لام له‌ڕووی په‌روه‌رده‌ییه‌وه‌ هه‌ڵه‌یه‌)

2\times b^2 =a^2

گه‌ر سه‌رنج له‌ a^2 بده‌یت ئه‌وا بۆت ده‌رده‌كه‌وێت كه‌ ژماره‌یه‌كی جووته‌ , ماده‌م   a^2 جووته‌ ئه‌وا  a جووته‌ ! ، كه‌واته‌ ژماره‌یه‌كی ته‌واوی وه‌كو  n  هه‌یه‌ كه‌ a=2n  ، ئێستا ده‌چین و نرخی a به‌له‌جیاتیدانان له‌ دوا هاوكێشه‌ داده‌نێینه‌وه‌ وه‌ ئه‌م هاوكێشه‌ نوێیه‌مان ده‌ستده‌كه‌وێت:-

2\times b^2 =(2n)^2

2\times b^2=4n^2

b^2=2n^2

له‌به‌ر هه‌مان هۆكاری پێشووتر ژماره‌ی  b^2 جووته‌و له‌مه‌یشه‌وه‌ ده‌گه‌ینه‌وه‌ ئه‌و ڕاستیه‌ b  ژماره‌یه‌كی جووته‌.

ئێستا گه‌یشتینه‌ ئه‌و ئه‌نجامه‌ی كه‌ a,b هه‌ردووكیان جووتن، واته‌ به‌لایه‌نی كه‌مه‌وه‌ جگه‌ 1 كۆلكه‌یه‌كی هاوبه‌شی تریان هه‌یه‌ ئه‌ویش  ژماره‌ 2 ه‌ ، ئه‌مه‌یش دژیه‌كه‌ ( مه‌عقول نیه‌!) له‌گه‌ل ئه‌و ڕاستیه‌ی كه‌ پێشتر هه‌مانبووه‌ و  ده‌یگووت هه‌ردوو ژماره‌ی   a,b ته‌نها یه‌ك كۆلكه‌ی هاوبه‌شیان هه‌یه‌ ئه‌ویش 1 ه‌  . ئه‌م دژیه‌كه‌ له‌وه‌وه‌ سه‌رچاوه‌ی گرتووه‌ كه‌ ووتوومانه‌ \sqrt 2 ژماره‌یه‌كی رێژه‌ییه‌. كه‌واته‌ \sqrt 2 ژماره‌یه‌كی ناڕێژه‌ییه‌.

ئه‌مه‌یش داواكراوه‌كه‌یه‌!

تیبینی:- له‌ سه‌لماندنه‌كه‌ ئه‌م راستیه‌مان به‌كارهێناوه‌ بێ روونكردنه‌وه‌ لێره‌ روونی ده‌كه‌ینه‌وه‌

 گه‌ر هاتوو a^2 ژماره‌یه‌كی جووت بێت ئه‌وا  a یش ژماره‌یه‌كی جووت ده‌بیت.

سه‌لماندن:- گریمان a جووت نیه‌. كه‌واته‌ ده‌بیت تاك بیت. واته‌  a=2k+1  كاتیكی k ژماره‌یه‌كی ته‌واوه‌. ئیستا هه‌لده‌ستین به‌ دووجاكردنی a

a^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1

واته‌

a^2=2(2k^2+2k)+1

بۆ ئاسانكاری m=(2k^2+2k) له‌هاوكێشه‌كه‌ی سه‌رووتردا داده‌نێنیه‌وه‌

a^2=2m+1 دیاره‌ له‌مه‌یشه‌وه‌ ده‌گه‌ینه‌ ئه‌و ئه‌نجامه‌ی كه‌ a^2 ژماره‌یه‌كی تاكه‌، به‌لام ئه‌مه‌ دژیه‌كه‌و هه‌له‌یه‌.هه‌له‌كه‌یش له‌وه‌وه‌ هاتووه‌ كه‌  a  به‌ تاك داناوه‌. كه‌واته‌ی ژماره‌یه‌كی جووته‌.

Advertisements

وەڵامێک بنووسە

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / گۆڕین )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / گۆڕین )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / گۆڕین )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / گۆڕین )

Connecting to %s