ئایا ده‌كرێت دوو ژماره‌ له‌ڕواڵه‌تدا وه‌كو یه‌ك نه‌بن به‌لام یه‌كسان بن؟

گه‌ر ته‌ماشایه‌كی ئه‌و پرسیاره‌ بكه‌یت و به‌هه‌ستی خۆت یه‌كسه‌ر وه‌لام بده‌یته‌وه‌ ئه‌وا وه‌ڵامه‌كه‌ت نه‌رێنی  ده‌بێت،عوزریشت بۆ وه‌ڵامه‌كه‌ت ئه‌وه‌یه‌ كه‌ دیاره‌ و ئاشكرایه‌ دوو ژماره‌ی جیاوازن له‌ ڕواڵه‌تدا هه‌میشه‌ یه‌كسان نین.

باشتره‌ وایه‌ پرسیاره‌كه‌ كه‌مێك ساده‌تر بكه‌ینه‌وه‌ نموونه‌یه‌كی له‌سه‌ر وه‌ربگرین، بۆ نموونه‌ هه‌ردوو ژماره‌ی 0.\overline{9},1 له‌ڕوواله‌تدا جیاوازن، به‌لام یه‌كسانن!

سه‌ره‌تا ده‌بیت ئه‌وه‌ بزانین كه‌ مه‌به‌ستمان له‌ 0.\overline{9} ژماره‌ ده‌ییه‌كه‌ {لێره‌دا 9} دووباره‌ده‌بیته‌وه‌ تا ناكۆتا له‌پاش خاڵه‌كه‌، واته‌ 0.999\cdots = 0.\overline{9}  كه‌ مه‌به‌ستمان لێی ژماره‌یی ده‌یی دوباره‌بوویه‌یه‌ (repeated fractions).

گریمان تۆ ده‌ڵێیت ئه‌و دوو ژماره‌یه‌ یه‌كسان نین، ئه‌و كاته‌ پرسیاریكی تر دروست ده‌بێت ، ئه‌ویش ئایا جیاوازی نێوانیان چه‌نده‌؟ به‌مانایه‌كی دیكه‌ دوو ژماره‌ی یه‌كسان جیاوازی نێوانیان سفره‌، به‌لام جیاوازی نێوان دوو ژماره‌ی نایه‌كسان هه‌میشه‌ موجه‌به‌ { جیاوازی نێوان دوو ژماره‌ی راستی ده‌كاته‌ |a-b|} ،كه‌واته‌ ماده‌م ئه‌و دوو ژماره‌یه‌ یه‌كسان نین ده‌بیت جیاوازی نێوانیان بدۆزینه‌وه‌. ده‌كرێت ئه‌م قسانه‌ی سه‌ره‌وه‌ به‌شێوه‌یه‌كی فه‌رمی بنووسین، واته‌ 0.\overline{9} ,1 یه‌كسان نه‌بن ئه‌وا ده‌بێت یان 0.\overline{9}<1 یاخود 0.\overline{9}>1 .

گریمان ئه‌وه‌ی یه‌كه‌میان ڕاسته‌ ، پرسیاره‌كه به‌م شێوه‌ی لێدێت، ئایا 1-0.\overline{9} ده‌كاته‌ چه‌ند ؟

دڵنیام ناتوانیت ژماره‌یه‌كی راستی موجه‌بم بده‌یتێ كه‌ بكاته‌ جیاوازی نێوان ئه‌و دوو ژماره‌یه‌، واته‌ ئه‌و دوو ژماره‌یه‌ یه‌كسان نین.

به‌س بووه‌سته‌! ئێستا تۆ نه‌توانی بیسه‌لمێنێت كه‌ ئه‌و دوو ژماره‌یه‌ یه‌كسان نین، به‌لام ئایا ده‌كرێ بیسه‌ڵمێنین كه‌ ئه‌و دوو ژماره‌یه‌ یه‌كسانن، مه‌به‌ست له‌ سه‌لماندیش، ئه‌و زنجیره‌ ئه‌رگومینته‌ لۆژیكیانه‌یه‌، كه‌ هه‌ر هه‌نگاوێك به‌شێوه‌یه‌ك له‌ شێوه‌كان پشت به‌ هه‌نگاوه‌كی پێش خۆی یان دراوی پرسیاره‌كه‌ ده‌به‌ستێت و له‌كوتایی ئه‌و ئه‌رگومینتانه‌ ده‌گه‌ینه‌ ئه‌و ده‌رئه‌نجامه‌ی كه‌ ئه‌وه‌ی پێشووتر بانگه‌شه‌مان بۆ كردووه‌ ڕاست بێت. هه‌ڵبه‌ت زۆر ڕێگه‌ هه‌یه‌ بۆ ئه‌وه‌ی ئه‌و پرسیاره‌ی سه‌ره‌وه‌ی پێ بسه‌لمێنین ( هه‌لبه‌ت شیكاركردن جیاوازه‌ له‌ سه‌لماندن) وه‌ هه‌ر ڕێگایه‌ك پێویستی به‌ جۆرێكی جیاواز له‌ باكگراوند هه‌یه‌ ، هه‌ندێكیان قوتابی سه‌ره‌تاییش لێی تێده‌گات له‌كاتێكدا هه‌ندێكی تر ئاماده‌یی و دواتر، من له‌و ڕێگایه‌وه‌ ده‌ستپێده‌كه‌م كه‌ كه‌مترین زانیاری ده‌وێت له‌سه‌ر بیركاری.

سه‌لماندنی یه‌كه‌م:- تۆزیك ده‌ستمان ته‌ڕبكه‌ین به‌ جه‌بر، وا داده‌نێین كه‌ x=.\overline{9} ، وه‌ هه‌ردوولای هاوكێشه‌كه‌ جارانی 10 ده‌كه‌ین ( له‌خۆت بپرسه‌ بۆچی 10 ) . واته‌ 10x=9.\overline{9} ئێستا دوو هاوكێشه‌مان هه‌یه‌ با له‌خواره‌وه‌ هه‌ردووكی بنووسین:-

x=0.\overline{9}

10x=9.\overline{9}

با هاوكێشه‌ی یه‌كه‌م له‌دووهه‌م ده‌ربكه‌ین 10x-x=9.\overline{9}-0.\overline{9}

9x=9

ئێستا ئیشه‌كامان ئاسان بوو، هه‌ردوولای دابه‌شی 9 ده‌كه‌ین ، واته‌ x=1 به‌ڵام پێشتر ووتومان كه‌ x=0.\overline{9} كه‌واته‌ 0.\overline{9}=1 ، ئه‌وه‌یش داوا كراوه‌كه‌یه‌.


ئێستا نۆره‌ی منه‌ پرسیار له‌ تۆ بكه‌م، له‌یه‌كێك له‌ هه‌نگاوه‌كاندا ئێمه‌ هه‌ردوولامان جارانی 10 كرد، پرسیار بۆچی 9 نا یاخود 11، یاخۆد ئایا ده‌كرێت جارانی ژماره‌یه‌كی تری بكه‌یت و پرسیاره‌كه‌ دووباره‌ به‌هه‌مان میتۆد(ڕێگا) بسه‌لمێنرێت ؟

سه‌لماندنی دووهه‌م:-

پێش ئه‌وه‌ی ده‌ستبكه‌ین به‌ سه‌لماندن ده‌بێت ئه‌م ڕاستیه‌ی خواره‌وه‌ بزانین.
له‌ نێوان هه‌ر دوو ژماره‌یه‌كی ڕێژه‌یی ژماره‌یه‌كی ڕێژه‌یی تر هه‌یه‌ .دیاره‌ ئه‌مه‌یش بیردۆزێكی گرنگه‌ له‌ بیركاری شیته‌ڵكاری (Mathematica Analysis) كه‌ ده‌ڵێت ژماره‌ ڕێژه‌یه‌كان \mathbb{Q} چڕبوونه‌ته‌وه‌ (dense) له‌ناو ژماره‌ ڕاستیه‌كان  \mathbb{R}.
هه‌ڵبه‌ت، ڕاستیه‌كی له‌مه‌ به‌هێزتریش هه‌یه‌، به‌ڵام ئێمه‌ پێویستیمان پێی نیه‌، راستیه‌كه‌یش ئه‌وه‌یه‌ كه‌ ده‌ڵێت { له‌نێوان هه‌ر دوو ژماره‌یه‌كی ڕێژه‌یی، ناكۆتا ژماره‌ی ڕێژه‌یی تر هه‌یه‌}. هه‌ر بۆ به‌رچاو ڕوونی ده‌مه‌وێت ئاشكرای بكه‌م بۆچی ئێمه‌ كار له‌سه‌ر ڕاستی یه‌كه‌م ده‌كه‌ین له‌گه‌ل ئه‌وه‌ی ڕاستی دووهه‌م به‌هێزتره‌، هۆكاره‌كه‌ی ماتمایكزانه‌كان هه‌میشه‌ بۆ سه‌لماندنی هه‌ر ئیدیعایه‌كی بیركاریانه‌ هه‌وڵئه‌دان كه‌مترین+لاوازترین دراوه‌ بیركاریه‌كان به‌كاربهێنین، بۆ ڕوونكردنه‌وه‌ی ئه‌مه‌ باشتره‌ بڵێم ، بیركاریزانه‌كان وه‌كو كرێكارێكی خانوو دروستكردن وان، كه‌ هه‌وڵئه‌ده‌ن له‌ كاتی بنیاتنانی خانوویه‌كدا كه‌مترین كه‌ره‌سته‌ وه‌ ئامێری بیناسازی به‌كاربهێنێت.
با بێینه‌وه‌ سه‌ر سه‌لماندنه‌كه‌، بۆ پیشاندانی 0.\overline{9}=1 میتۆدی دژیه‌ك هه‌ڵده‌بژێرین. وا داده‌نێین ئه‌و دوو ژماره‌یه‌ یه‌كسان نین، وه‌ دیاریشه‌ هه‌ردوو ژماره‌كه‌ ڕاستین ( هه‌ڵبه‌ت ژماره‌ی تر هه‌ن كه‌ ڕاستی نین هه‌ر وه‌ك ژماره‌ ئاوێته‌كان) . كه‌واته‌ به‌گوێره‌ی ڕاستی یه‌كه‌م، ده‌بێت ژماره‌یه‌كی ڕاستی هه‌بێت له‌ نێوانیان، گریمان ئه‌و ژماره‌یه‌ x ه‌ ، واته‌ ده‌بێت 0.\overline{9}<x<1 ڕوونه‌ كه‌ ده‌بێت x بكاته‌ 0.\overline{9} كۆ ژماره‌یه‌كی زۆر بچووك، وه‌ مه‌رجه‌ ئه‌و ژماره‌ بچووكه‌ به‌جۆڕێك بێت كه‌ كاتێك كۆمان كرده‌وه‌ له‌گه‌ڵ 0.\overline{9} ئه‌وا ئه‌نجامه‌كه‌ كه‌متربێت له‌ 1 ، به‌ڵام دیاره‌ ئه‌مه‌ ئه‌سته‌مه‌،چونكی ئه‌نجامه‌كه‌ هه‌میشه‌ گه‌وره‌ترده‌بێت له‌ 1 ( هه‌رگیز یه‌كسان نابێت به‌ 1 بۆچی؟ ).

كه‌واته‌ ژماره‌ی x  بوونی نیه‌،له‌م حاڵه‌ته‌یش یان ڕاستی یه‌كه‌م هه‌ڵه‌یه‌( كه‌ سه‌لمێنراوه‌ ڕاسته‌) یاخۆد ئیدیعاكه‌ی ئیمه‌ هه‌له‌یه‌( به‌تاكید) له‌مه‌یشه‌وه‌ دووباره‌ ده‌گه‌ینه‌وه‌ ئه‌وه‌ی بڵێن كه‌ هیچ ژماره‌یه‌ك له‌و نێوه‌ندا بوونی نیه‌، چونكی هه‌ردووك ژماره‌كه‌ یه‌كسانن.

سه‌لماندنی سێهه‌م:- Infinite series  زنجیره‌ی ناكۆتا

ئه‌م ڕێگه‌یه‌یان زیاتر له‌ڕێگه‌كانی تر جێگای قبوڵكردنه‌، هوكه‌یشی بۆ ئاسانی و كه‌متر پێویستبوون به‌ هێنانه‌وه‌ی بیانووه‌ بۆ هه‌نگاوه‌كان ( له‌بیرت نه‌چێت سه‌لماندنی باش هه‌میشه‌ كه‌مترین ئارگیومینتی تیادایه‌ ). سه‌ره‌تا هه‌ڵده‌ستین به‌ نووسینی 0.999\cdots  به‌شێوه‌یه‌ی زنجیره‌یه‌كی ناكۆتا.
0.\overline{9}= 0.9+0.09+0.009+\cdots= \frac{9}{10} + \frac{9}{10^2} + \frac{9}{10^3} + \cdots
وه‌ دیاره‌ كه‌ ئه‌مه‌ زنجیره‌یه‌كی ناكۆتای ئه‌ندازه‌ی یه‌ (Geomertric Seires) چونكه‌ شێوه‌ گشته‌كه‌ی به‌م جۆره‌یه‌:-

a+ar + ar^2 + a r^3 + \cdots = \frac{a}{1-r}

وه‌ دیاره‌ ئه‌وه‌ی سه‌ره‌وه‌ كاتێك راسته‌ كه‌ |r|<1. واته‌ ته‌نها كاتێك ئه‌و زنجیره‌یه‌ لێكنزیكده‌بێته‌وه‌ (convergent series) كه‌ گه‌ر هاتوو  -1<r<1 .

وه‌ ئه‌وه‌یش ده‌زانین كه‌ گه‌ر هاتوو  له‌م حاله‌ته‌ی ئێستاماندا a = \frac{9}{10} هه‌روه‌ها r = \frac{1}{10} كه‌واته‌ زنجیره‌ ناكۆتاكه‌ لێكنزیبووه‌ و ئه‌نجامی كۆكردنه‌وه‌كه‌ ده‌كاته‌ :-

0.\overline{9}=\displaystyle \frac{\frac{9}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}} = 1.

واته‌ 1=0.999\cdots  ئه‌وه‌یش داواكراوه‌كه‌یه‌!

Advertisements

2 thoughts on “ئایا ده‌كرێت دوو ژماره‌ له‌ڕواڵه‌تدا وه‌كو یه‌ك نه‌بن به‌لام یه‌كسان بن؟

وەڵامێک بنووسە

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / گۆڕین )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / گۆڕین )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / گۆڕین )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / گۆڕین )

Connecting to %s