مۆدیله‌ر ئه‌ریسماتیك

ئه‌م كاتژمێره ئه‌ریسماتیكی مۆدیلۆ 12 به‌كارده‌هێنێت.
ئه‌م كاتژمێره ئه‌ریسماتیكی مۆدیلۆ 12 به‌كارده‌هێنێت.

مۆدیۆله‌ر ئه‌ریسماتیك جۆرێكی تایبه‌ته‌ له‌ ئه‌ریسماتیك كه‌ ته‌نها تایبه‌ته‌ به‌ ژماره‌ ته‌واوه‌كان،ئامانج له‌م ووتاره‌ ئه‌وه‌یه‌ كه‌ سه‌ره‌تاكانی مۆدیۆله‌ر ئه‌ریسماتیك بۆ خوێنه‌ری كوردی باسبكه‌م،له‌گه‌لیشیدا هه‌ندێك نموونه‌ باس ده‌كه‌ین كه‌ له‌ له‌ مۆدیۆله‌ر ئه‌ریسماتیك به‌ئاسانی ئه‌نجامده‌درێت له‌ كاتێكدا له‌و  ئه‌ریسماتیكه‌ی كه‌ باوه‌ زه‌حمه‌ته‌.

باشتر وایه‌ سه‌ره‌تا بزانین ئه‌ریسماتیك چیه‌؟

ئه‌یرسماتیك كه‌ له‌ ووشه‌ی ئه‌ریسمۆی گریكه‌وه‌ هاتووه‌ كه‌ مانای ژماره‌یه‌، به‌ كۆنترین و سه‌ره‌تایترین لقی بیركاری داده‌نرێت،كه‌ له‌ ژماره‌ و چوار كرداره‌ سه‌ره‌كیه‌كه‌ی نێوان ژماره‌ ده‌كۆلێته‌وه‌، كراداره‌كانیش بریتین له‌ كۆكردنه‌وه‌،  لێكده‌ركردن، لێكدان وه‌ دابه‌ش.به‌شێوه‌یه‌كی گشتی ژماره‌ ڕاستیه‌كان له‌گه‌ل +,-,\times,\div پێكه‌وه‌ ئه‌ریسماتیه‌كه‌.

ئه‌و ئه‌ریسماتیكه‌ی كه‌ له‌ قوتابخانه‌ ده‌خوێنرێت جیاوازه‌ له‌وه‌ی كه‌ له‌و ئه‌ریسماتیكه‌ی كه‌ لێره‌دا مه‌به‌ستمانه‌ باسی بكه‌ین.

گه‌ر به‌شێوه‌یه‌كی بینراو جیاوازیه‌كه‌ت پێبلێین ئه‌وه‌ ده‌ڵێن ئه‌ریسماتیكی قوتابخانه‌وه‌ وه‌كو هێڵێكی راست وایه‌،له‌كاتێكدا مۆدیۆله‌ر ئه‌ریسماتیك وه‌كو بازنه‌ وایه‌، وایه‌ خوڵگه‌ییه‌.

بۆ نموونه‌، گه‌ر له‌سه‌ر هێڵی ژماره‌ راستیه‌كان ( كه‌ هێڵێكی راسته‌) كرداری كۆكردنه‌وه‌ی دوو ژماره‌ موجه‌ب بكه‌ین ئه‌وا ئه‌نجام هه‌میشه‌ ده‌كاته‌ ژماره‌یه‌كی نوێ له‌لای ڕاست، به‌لام له‌ مۆدیۆله‌ر ئه‌ریسماتیك وا نیه‌، له‌وانه‌یه‌ دوو ژماره‌ی موجه‌ب كۆبكه‌یته‌وه‌ بكاته‌وه‌ سفر یان ژماره‌یه‌كی بچوكتر له‌ ژماره‌كانی كه‌ كۆمانكردبوونه‌وه‌.

مه‌به‌ست له‌ هێلی راست ئه‌وه‌یه‌ كه‌ ژماره‌كان كۆتایی نیه‌ له‌ هه‌ردوو كۆتاییه‌كه‌یه‌وه‌، به‌لام له‌ مۆدیله‌ر ئه‌ریسماتك چونكه‌ بازنه‌یه‌ ئه‌وا كۆتایی و سه‌ره‌تایی هه‌یه‌.

ئاسانترین نموونه‌ی مۆدیۆله‌ر ئه‌ریسماتیك كه‌ ڕۆژانه‌ ئێمه‌ به‌كاریده‌هێنین بریتیه‌ له‌ كاتژمێری دیوار ، به‌لام بۆ ئاسانی تێگه‌یشن له‌جیاتی 12 ژماره‌ 0 داده‌نین، وه‌ كاتژمێر گه‌ر بیخۆێنیته‌وه‌ وه‌ هه‌ر جاره‌ی كاتژمێرێكی تری بۆ زیاد بكه‌ین ئه‌وا ئه‌م ژمارانه‌ی خواره‌وه‌مان ده‌ستده‌كه‌وێت:-

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,0,\dots

ئه‌م ژمارانه‌ی سه‌ره‌وه‌ جۆرێكی تایبه‌ته‌  له‌ ژماردن كه‌ به‌ مۆدیلۆ 12  (modulo 12) ناوده‌برێت  كاتێك كه‌ 1 زیاده‌كه‌ین بۆ 11 ئه‌وه‌ ده‌گه‌رێینه‌وه‌ بۆ سه‌ره‌تا یاخود 0. ئه‌مه‌ هه‌ر تایبه‌ت نیه‌ به‌ مۆدیلۆ 12 به‌لكو بۆ هه‌ر ژماره‌یه‌كی تریش راسته‌، واته‌ گه‌ر مۆدیلۆ 5 مان هه‌بوو ئه‌و كاته‌ كه‌ 1 زیاده‌كه‌ین بۆ 4 ئه‌وه‌ ده‌گه‌رێینه‌وه‌ بۆ 0. به‌لام ئه‌م جاره‌ ژماره‌كانی مۆدیلۆ 5 به‌م جۆره‌ی خواره‌وه‌ی ده‌یانژمێرین:-

1,2,3,4,0,1,2,3,4,0,\dots

به‌هه‌مان شێوه‌ ده‌توانین له‌ گه‌وره‌وه‌ بۆ بچووك بژمێرین بۆ نموونه‌ گه‌ر هاتوو له‌سیته‌می مۆدیلۆی 5 كاربكه‌ین، ئه‌و كاته‌ گه‌ر هاتوو 1 له‌ 0 ده‌ربكه‌ین ئه‌وا 4 ده‌ستده‌كه‌وێت.هه‌روه‌ها له‌ ژماره‌ -12 تاوه‌كو  0 به‌م شێوه‌یه‌ی لێدێت له‌ مۆدیلۆ 5 دا:-

3,2,1,0,1,2,3,4,0,1,2,3,4,0\dots

كاتێك -12 ده‌كاته‌ 3 مۆدیلۆ 5, به‌شێوه‌یه‌كی گشتی هه‌ر ژماره‌یه‌كی ته‌واو ده‌توانرێت به‌شێوه‌ی 4,3,2,1,0 مۆدیلۆ 5 بنووسرێت. وه‌ به‌م پێنج ژماره‌یه‌ ناوێكی تایبه‌تیان ئه‌ده‌ینێ كه‌ ئه‌ویش: ریسیدۆ كلاسسس مۆدیلۆ 5 به‌مانایه‌كی تر هه‌ریه‌كێك له‌م پێنج ژماره‌یه‌ نوێنه‌رایه‌ی ژماره‌یه‌كی ناكۆتا له‌ ژماره‌ ته‌واوه‌كان ده‌كه‌ن.به‌شێوه‌یه‌كی گشتی بۆ ژماره‌یه‌كی سروشتی  وه‌كو n (كه‌ گه‌وره‌تره‌ له‌ یه‌ك) مۆدیلۆ ڕیسیدۆكانی n ده‌كاته‌ سه‌رجه‌م ئه‌و ژماره‌ سروشتیانه‌ی كه‌ بچووكترن له‌ n كه‌ ده‌كاته‌ ئه‌م ژمارانه‌ی خواره‌وه‌:

0,1,2,\dots n-1.

گه‌ر به‌وردی سه‌رنج بده‌یت،ئه‌م ژمارانه‌ی سه‌ره‌وه‌ بریتیه‌ له‌ ماوه‌ی ژماره‌یه‌كی دیاری كراو كاتێك به‌سه‌ر n دابه‌ش ده‌كرێت،بۆ نموونه‌ له‌ له‌ مۆدیلۆی 5 دا 12 ده‌كاته‌ 2 بۆچی؟  چونكه‌ كاتێك 12 دابه‌شی 5 ده‌كه‌ین 2 ده‌مێنێته‌وه‌ (باقی). به‌هه‌مان شێوه‌ 20 ده‌كاته‌ 0 مۆدیلۆی 5 چۆنكه‌ ماوه‌ سفره‌ كاتێك به‌سه‌ر 5 دابه‌شده‌بێت. له‌وه‌ ده‌چێت بپرسیت بڵیت باشه‌ ئه‌م هه‌موو سه‌رئێشه‌یه‌ بۆچیه‌؟ وه‌لامه‌كه‌ ئه‌وه‌یه‌ له‌رێگه‌ی ئه‌م جۆره‌ ئه‌ژماركردنانه‌وه‌ زۆر بیردۆز و ئه‌نجام له‌ناو تیۆری ژماره‌كاندا (Number Theory) زۆر ئاسان ده‌بێت.

ریسیدۆ(پاشماوه‌)

ده‌ڵێین ژماره‌یه‌كی وه‌كو a بریتیه‌ له‌  مۆدیلۆی-m ی پاشماوه‌ی  n كاتێك n\equiv a\pmod m وه‌ مه‌رجه 0\le a<m.

كۆنگورانس یاخود له‌یه‌كچوو

له‌ بیركاریدا ڕێگه‌یه‌كی تایبه‌ت هه‌یه‌ بۆ ووتنی ئه‌وه‌ی سه‌رجه‌م ژماره‌ ته‌واوه‌كان بریتین له‌ یه‌كێك له‌ 5-مۆدیلۆی پاشماوه‌. بۆ نموونه‌ 7 وه‌ 2 كۆنگورانسی مۆدیلۆی 5 ن. له‌جیاتی ووشه‌ی كۆنگورانس یاخود له‌یه‌كچووی هێمای  \equiv به‌كارده‌هێنین.به‌مانایه‌كی تر ئه‌م ژمارانه‌ی خواره‌وه‌ له‌ بنچینه‌ (base) یاخود سیسته‌می 5 هه‌مان دووا ڕه‌نوسیان هه‌یه‌ :

2(base 5)\equiv12(base 5)\equiv22(base 5)\equiv32(base 5)\equiv 42(base 5)

7 \equiv 2 \pmod{5}.

مه‌به‌ست له‌ (mod 5) ته‌نها ئه‌وه‌یه‌ كه‌ ئێمه‌ كار له‌ مۆدیۆلۆی ته‌واوی 5 ده‌كه‌ین. دوو ژماره‌ له‌یه‌كچوون گه‌ر هاتوو جیاوازی نێوانیان بكاته‌ لێكدراوه‌ی 5 . بۆ نموونه‌ سه‌رجه‌م ئه‌م ژمارانه‌ی خواره‌وه‌ له‌یه‌كچوونن

-12 \equiv -7 \equiv -2 \equiv 3 \equiv 8 \equiv 13 \equiv 18 \equiv 23 \pmod{5}

به‌شێوه‌یه‌كی گشتی، دوو ژماره‌ی ته‌واوی وه‌كو a وه‌ b  له‌یه‌كچوو مۆدیلۆی n ده‌بن گه‌ر هاتوو a-b بكاته‌ لێكدراوی n به‌مانایه‌كی تر :-

a \equiv b \pmod{n} كاتێك  \frac{a-b}{n} بكاته‌ ژماره‌یه‌كی ته‌واو. گه‌ر نا   a \not\equiv b \pmod{n} كه‌ به‌مانای ئه‌وه‌دێت هه‌ردوو ژماره‌ی a وه‌ b له‌یه‌كچووی مۆدیلۆی n نین.

نموونه‌

  •  31 \equiv 1 \pmod{10} چونكه‌ 31-1=30 كه‌ دیاره‌ ئه‌م ژماره‌یه‌ چه‌ند جاره‌ی 10 یه‌.
  •  43 \equiv 22 \pmod{7} چونكه‌ \frac{43 - 22}{7} = \frac{21}{7} = 3 كه‌ دیاره‌ 3 ژماره‌یه‌كی ته‌واوه‌.
  •  8 \not\equiv -8 \pmod{3} چونكه‌ 16=8-(-8)  كه‌ دیاره‌ چه‌ندجاره‌ی ژماره‌ 3 نیه‌.
  •  91 \not\equiv 18 \pmod{6} چونكه‌ \frac{91 - 18}{6} = \frac{73}{6} ناكاته‌ ژماره‌یه‌كی ته‌واو.

كۆمه‌ڵێك پرسیار

پاشماوه‌ی مۆدیلۆ-4 ی ژماره‌ 311 بدۆزه‌ره‌وه‌. شیكار:  له‌به‌ر ئه‌وه‌ی كه‌  311 \div 4 = 77 \mbox{R}\, 3 كه‌واته‌ 311 \equiv 3 \pmod{4} ئه‌مه‌یش به‌مانای ئه‌وه‌دێت كه‌ پاشماوه‌ی مۆدیلۆ-4 ی 311 ده‌كاته‌ 3  (باقی 3 ده‌مێنێته‌وه‌).

ڕێگایه‌كه‌ی دیكه‌:

له‌به‌ر ئه‌وه‌ی 311=300+11 وه‌ ئێمه‌یش ئه‌وه‌ ده‌زانین كه‌ 311 \equiv 0+11 \pmod{4} له‌مه‌یشه‌وه‌ ده‌توانین زۆر به‌ ئاسانی پرسیاره‌كه‌ شیكار بكه‌ین به‌م شێوه‌یه‌  11 \equiv 3 \pmod{4} به‌هه‌مان شێوه‌ ئه‌مه‌ مانای ئه‌وه‌ ده‌گه‌یه‌نێت كه‌ ئه‌مه‌یش به‌مانای ئه‌وه‌دێت كه‌ پاشماوه‌ی مۆدیلۆ-4 ی 311 ده‌كاته‌ 3.

كرداری كۆمپیوته‌شین ئاسانتر ده‌كات مۆدیۆله‌ر ئه‌ریسماتیك

ئامانج له‌ دۆزینه‌وه‌ی وه‌ به‌كارهێنانی رێگه‌ی نوێ له‌بیركاری ته‌نها بۆ خۆشی و ئیشگرانكردن نیه‌،واته‌ هه‌ر میتۆدێكی بیركاری ده‌بێت له‌وانه‌ی پێشخۆی جیاوازبیت به‌وه‌ی كرداری كۆمپیته‌یشن ئاسانتر بكات،له‌وانه‌یه‌ تۆ بپرسیت ئه‌وه‌ی تا ئێستا بینیومه‌ له‌ مۆدیله‌ر ئه‌ریسماتیك ته‌نها دۆزینه‌وه‌ی ماوه‌ی ژماره‌یه‌كه‌ كاتێك به‌سه‌ر ژماره‌یه‌كی ته‌واودا دابه‌ش ده‌بێت كه‌ دیاره‌ ئه‌مه‌یش ئیلهامبه‌خش نیه‌ چونكه‌ قوتابی له‌ قۆناغه‌كانی بنه‌ڕه‌تیه‌وه‌ ئاشنایه‌تی له‌گه‌ل ئه‌م جۆره‌ كۆمپیته‌شنانه‌دا هه‌یه‌.

ئه‌م پرسیاره‌ی تۆ له‌ جێگای خۆیه‌تی، به‌لام به‌به‌كارهێنانی مۆدیلۆ ئه‌ریسماتیك كاركردن له‌سه‌ر ماوه‌ نه‌ك زۆر ئاسانتره‌ به‌لكۆ گونجاوتریشه‌، با به‌نموونه‌ ڕوونی بكه‌ینه‌وه‌:-

كۆكردنه‌وه‌

پرسیار

گریمان ده‌مانه‌وێت كه‌ ڕه‌نووسی یه‌كانی ئه‌نجامی ئه‌م كۆكردنه‌وه‌یه‌ بدۆزینه‌وه‌:

2403 + 791 + 688 + 4339.

رێگای ته‌قلیدی بۆ ئه‌م كاره‌ ئه‌وه‌یه‌ كه‌ یه‌كه‌مجار ئه‌نجامی كۆكردنه‌وه‌كه‌ بدۆزینه‌وه‌ كه‌ ده‌كاته‌ 8221 دواتر ژماره 1 ده‌كاته‌ ڕه‌نووسی یه‌كه‌می كۆكردنه‌وه‌كه‌ كه‌ دیاره‌ ئه‌وه‌یش داواكراوه‌. به‌لام ده‌كرێت ڕه‌نووسی یه‌كان بدۆزرێته‌وه‌ به‌ كه‌متر له‌و كۆمپیتیشه‌نه‌ی كه‌ له‌سه‌روه‌ كردامان ئه‌وه‌یش له‌رێگه‌ی به‌كارهێنانی مۆدیۆله‌ر ئه‌ریسماتیك وه‌ك له‌ خواروه‌ ڕوونی ده‌كه‌ینه‌وه‌:- سه‌ره‌تا  ته‌نها ڕه‌نووسی یه‌كان كۆده‌كه‌ینه‌وه‌ به‌م شێوه‌یه‌:

3 + 1 + 8 + 9 = 21.

ڕه‌نووسی یه‌كانی ئه‌م كۆكردنه‌وه‌یه‌ ده‌كاته‌ 1, كه‌ پێویسته‌ بكاته‌ ڕه‌نووسی یه‌كانی كۆكردنه‌وه‌ی ژماره‌ چوار-ڕه‌نووسیه‌كان كه‌ پێشووتر ئه‌نجامنداوه‌.

بۆچی ته‌نها پێویستیمان به‌وه‌ هه‌یه‌ كه‌ ته‌نها ماوه‌ به‌كاربهێنین بۆ دۆزینه‌وه‌ی ئه‌نجامه‌كه‌؟

یه‌كه‌م شت ده‌بێت ئه‌وه‌ بزانین كه‌ هه‌موو ژماره‌یه‌كی ته‌واو ده‌توانرێت به‌شێوه‌ی چه‌ندجاره‌ی 10 كۆ ماوه‌یه‌ك كه‌ كه‌متره‌ له‌ 10 بنووسرێت. بۆ نموونه‌ ئه‌و ژمارانه‌ی سه‌ره‌وه‌ به‌م جۆره‌ی لێدێت:

2403 = 240 \cdot 10 + 3

791 = 79 \cdot 10 + 1

688 = 68 \cdot 10 + 8

4339 = 433 \cdot 10 + 9

گه‌ر هه‌ر چوار ژماره‌ ته‌واوه‌كه‌ كۆبكه‌ینه‌وه‌ ئه‌مه‌ی خواره‌وه‌مان ده‌ستده‌كه‌وێت:

(240 \cdot 10 + 3) + (79 \cdot 10 + 1) + (68 \cdot 10 + 8) + (433 \cdot 10 + 9)

= (240 + 79 + 68 + 433) \cdot 10 + (3 + 1 + 8 + 9)

له‌سه‌ره‌وه‌ بیرۆكه‌ی خركردنه‌وه‌ی ماوه‌كان له‌گه‌ل خڕكردنه‌وه‌ی ئه‌و ژمارانه‌ی كه‌ چه‌ندجاره‌ی 10 پیشاندراوه‌ وه‌ ده‌بێت تێبینی ئه‌وه‌ بكه‌یت كه‌ كۆكردنه‌وه‌ی ئه‌و ژمارانه‌ی كه‌ چه‌ند جاره‌ی 10 هیچ كاریگه‌ریه‌كی له‌سه‌ر ڕه‌نووسی یه‌كانی ئه‌نجامی كۆكردنه‌وه‌كه‌ نابێت.

= 820 \cdot 10 + 21 = 8200 + 21 = 8221

شیكار له‌ڕێگه‌ی به‌كارهێنانی مۆدیوله‌ر ئه‌ریسماتیك

ئێستا با بگه‌رینه‌وه‌ سه‌ر شیكاری پرسیاره‌كه‌ به‌لام ئه‌م جاره‌ خێراتر و كه‌مێك ره‌سمی تر به‌هۆی مۆدیۆله‌ر ئه‌ریسماتیك:

2403 \equiv 3 \pmod{10}

791 \equiv 1 \pmod{10}

688 \equiv 8 \pmod{10}

4339 \equiv 9 \pmod{10}

له‌به‌ر ئه‌وه‌ی ئێمه‌ ته‌نها كار له‌سه‌ر پاشماوه‌ی مۆدیلۆی 10 ده‌كه‌ین،ته‌نها كارمان له‌گه‌ل پاشماوه‌ی كۆلكه‌ی كۆكردنه‌وه‌دا هه‌یه‌. واته‌: 2403 + 791 + 688 + 4339 \equiv 3 + 1 + 8 + 9 \equiv 21 \equiv 1 \pmod{10}, له‌مه‌یشه‌وه‌ تێبینی ره‌نووسی یه‌كانی سه‌رجه‌م كۆكردنه‌وه‌كه‌ ده‌دۆزینه‌وه‌ كه‌ ده‌كاته‌ 1.

یاسای كۆكردنه‌وه له‌ مۆدیوله‌ر ئه‌ریسماتیك

به‌شێوه‌یه‌كی گشتی گه‌ر هاتوو a,b,c وه‌ d ژماره‌یه‌كی ته‌واوبن وه‌ m ژماره‌یه‌كی موجه‌بی ته‌واوبێت ئه‌وا:

a \equiv c \pmod{m}

b \equiv d \pmod{m}
ئه‌وا ئه‌مه‌ی خواره‌وه‌ هه‌میشه‌ ڕاستده‌بێت:
a + b \equiv c + d \pmod{m}
وه‌ك له‌نموونه‌كه‌ی سه‌ره‌وه‌دا ڕوونكراوه‌ته‌وه‌، هه‌میشه‌ ده‌كرێت زیاتر له‌ جوتێك ژماره‌ی هه‌مه‌چه‌شن بۆ هه‌ردوو لا زیادبكرێت وه‌ هه‌مان كرداری ئه‌م رێسا ساده‌یه‌ی له‌سه‌ر دووباره‌ بكرێته‌وه‌:

سه‌لماندنی یاسای كۆكردنه‌وه‌:

گریمان  a-c=m\cdot k هه‌روه‌ها b-d=m\cdot l  كاتێك l,k \in \mathbb{Z} گه‌ر هاتوو ئه‌م دوو هاوكێشه‌یه‌ كۆبكه‌ینه‌وه‌ ئه‌وا ئه‌مه‌ی خواره‌وه‌مان ده‌ستده‌كه‌وێت:

mk+ml=(a-c)+(b-d)\\m(k+l)=(a+b)-(c+d)

كه‌ دیاریشه‌ ئه‌مه‌ مانای ئه‌وه‌ ده‌گه‌یه‌نێت كه‌ :

a+b\equiv c+d\pmod{m}

لێكده‌ركردن

هه‌مان یاسای كۆكردنه‌وه‌ بۆ لێكده‌ركردنیش راست ده‌رده‌چێت ته‌نها هێمای لێكده‌ركردن له‌جیاتی هێمای كۆكردنه‌وه‌ داده‌نێین.

پرسیار

ماوه‌ی جیاوازی نێوان 60002 وه‌ 601 بدۆزه‌ره‌وه‌ كاتێك به‌سه‌ر 6 دا دابه‌ش ده‌كرێت .

شیكار

سه‌رنج بده‌ له‌وه‌ی 60002 = 10000 \cdot 6 + 2  هه‌روه‌ها  601=100\cdot 6+1  له‌مه‌یشه‌وه‌ ده‌زانین كه‌  60002 \equiv 2 \pmod{6} وه‌ 601 \equiv 1 \pmod{6} سه‌رئه‌نجام  60002 - 601 \equiv 2 - 1 \equiv 1 \pmod{6}, . كه‌ دیاره‌ ماوه‌ ده‌كاته‌ 1 كاتێك كه‌ جیاوازی نێوان ئه‌و دوو ژماره‌یه‌ دابه‌شی 6ده‌كرێت. 

یاسای لێكده‌ركردن

a,b,c وه‌ d ژماره‌یه‌كی ته‌واوبن وه‌ m ژماره‌یه‌كی موجه‌بی ته‌واوبێت كاتێك:

a \equiv c \pmod{m}

b \equiv d \pmod{m}
ئه‌مه‌ی خواره‌وه‌ هه‌میشه‌ ڕاستده‌رده‌چێت:
a-b \equiv c-d \pmod{m}

لێكدان

سودی مۆدیله‌ر ئه‌ریسماتیك زیاتر له‌ كرداری لێكدان ده‌رده‌كه‌وێت وه‌ك ئه‌وه‌ی له‌ لێكده‌ركردن و كۆكردنه‌وه‌دا ده‌یبینین.بۆ بینینی ئه‌م خاڵه‌ به‌ڕوونی باشتره‌ نموونه‌یه‌ك بخه‌ینه‌ به‌رچاو

پرسیار

جێری 44  كارتۆن بیبسی هه‌یه‌ له‌ناو سه‌یاره‌كه‌یدا.ژماره‌ی قووتووه‌ بیسیه‌كان له‌ناو هه‌ركارتۆنێكدا وادانروه‌ كه‌ جێگه‌ی 113 دانه‌ ببێته‌وه‌. جێری ده‌یه‌وه‌ێت  ده‌یه‌وێت سۆده‌كان به‌شێوه‌ی 12 دانه‌ی رێكبخات و به‌و جۆره‌ بیسفرۆشێت.دوای ئه‌وه‌ی ئه‌وه‌نده‌ی بتوانێت به‌ته‌واوه‌تی جیابكاته‌وه‌ به‌شێوه‌ی 12دانه‌ی چه‌ند دانه‌ ده‌مێنێته‌وه‌؟

شیكار

سه‌ره‌تای،ئه‌م جۆره‌ پرسیارانه‌ پێی ده‌وترێت پرسیاری ووشه‌، وه‌ گه‌ر ئه‌م پرسیاری ووشه‌یه‌ بیگۆرین بۆ بیركاری ئه‌وه‌ ده‌پرسین كه‌ ئایا گه‌ر هاتوو ئه‌م لێكدانه‌113 \times 44  دابه‌شی 12 بكرێت ئه‌وا چه‌ند باقی ده‌مێنێته‌وه‌. باشتره‌ هه‌ریه‌كێك له‌ ژماره‌كانی 44 وه‌ 113 به‌شێوه‌ی چه‌ندجاره‌ی 12 كۆ ماوه‌یه‌ك كه‌ بچوكتره‌ له‌ 12 بنووسین، به‌م شێوه‌یه‌ :

44 \equiv 8 \pmod{12}

113 \equiv 5 \pmod{12}

ئه‌مه‌یش شێوه‌یه‌كی زۆر جوانمان ئه‌داتێ بۆ بینینی كرداری لێكدانه‌كه‌

44 \cdot 113 \equiv 8 \cdot 5 \equiv 40 \equiv 4 \pmod{12},

=(3 \cdot 9) \cdot 12^2 + (3 \cdot 5 + 8 \cdot 9) \cdot 12 + (8 \cdot 5)

  كاتێك سه‌رنج له‌سه‌ر دوا به‌ش ئه‌ده‌یت ده‌بینیت كه‌ له‌ سێ به‌شی جیا پێكهاتووه‌، دوو به‌شیان چه‌ند جاره‌ی 12 ن، ته‌نها به‌شی سێهه‌م نه‌بێت كه‌ له‌ئه‌نجامی لێكداونی ماوه‌ی 44 وه‌ 113 په‌یدابووه‌ كاتێك دابه‌شی 12 كراوه‌. ئه‌م به‌شه‌ ده‌كاته‌ 5\times 8=40, كه‌ دیاره‌ گه‌ر دابه‌شی 12 بكه‌یت ئه‌وا ماوه‌ 4ده‌بێت، واته‌ جێرمی دوای ئه‌وه‌ی قوتووه‌ بیبسیه‌كان به‌شێوه‌ی گرۆپی 12 دانه‌ی جیاده‌كاته‌وه‌ ئه‌وا 4 قووتووی بیبسی ده‌مێنێته‌وه‌.

شیكاركردن له‌ڕێگه‌ی مۆدیله‌ر ئه‌ریسماتیك

یه‌كه‌مجار سه‌رنجی ئه‌مه‌ی خواره‌وه‌ ئه‌ده‌ین

44 \equiv 8 \pmod{12}

113 \equiv 5 \pmod{12}

له‌مه‌یشه‌وه‌ ده‌گه‌ینه‌وه‌ ئه‌نجامی ئه‌وه‌ی 44 \cdot 113 \equiv 8 \cdot 5 \equiv 40 \equiv 4 \pmod{12}, كه‌ به‌مانای ئه‌وه‌ دێت كه‌ 4 قووتوی بیبسی ماوه‌ته‌وه‌، واو ئه‌مه‌ زۆر ئاسانتر بوو!

یاسای لێكدان

a,b,c وه‌ d ژماره‌یه‌كی ته‌واوبن وه‌ m ژماره‌یه‌كی موجه‌بی ته‌واوبێت كاتێك:

a \equiv c \pmod{m}

b \equiv d \pmod{m}

ئه‌مه‌ی خواره‌وه‌ هه‌میشه‌ ڕاسته‌:

a\cdot b\equiv c\cdot d\pmod{m}

توان

له‌به‌ر ئه‌وه‌ی كه‌ توان دوباره‌كردنه‌وه‌ی  لێكدانه‌،ڕێی تێده‌چێت كه‌ ئه‌و پرسیاره‌ی توانی تیادا هه‌یه‌ له‌ڕێگه‌ی مۆدیله‌ر ئه‌ریسماتیكه‌وه‌ زۆر ئاسانتر شیكار ده‌كرێت. به‌شێوه‌یه‌كی گشتی مۆدیله‌ر ئه‌ریسماتیك زیاتر له‌و جێگایانه‌ سوده‌كه‌ی به‌دیار ده‌كه‌وێت كه‌ كردارێكی كۆمپیوته‌شنی زۆرت له‌ پێشبێت.

پرسیار 1:

ئایا دوا ڕه‌نووسی (...((7)^7)^7)...)^7 ده‌كاته‌ چه‌ند گه‌رهاتوو 1000 توانی 7 مان هه‌بێت، وه‌ هه‌موو جارێك ته‌نها یه‌ك توانی 7 له‌ناو كه‌وانه‌دا هه‌بێت؟ ئه‌م پرسیاره‌ ده‌كرێت له‌ڕێگه‌ی mod شیكار بكه‌ین. یان ده‌توانین بڵێین كه‌ ئه‌م ژماره‌یه‌ ده‌كاته‌ 7^{7^{1000}} دوای ئه‌مه‌یش ده‌بینین كه‌ 7  لێكچووی -1  له‌ناو مۆدی-4 . كه‌واته‌ ده‌توانین ئه‌م سود له‌م ڕاستیه‌ ببینین بۆ ئه‌وه‌ی 7 بگۆڕین به‌ -1 له‌ پرسیاره‌كه‌دا. چونكی ئه‌م شێوازه‌ دوباره‌بووه‌یه‌ ده‌وری 4 بۆ ڕه‌نووسی یه‌كان. به‌لام ئه‌وه‌یش ده‌زانین كه‌ (-1)^{1000} ئه‌مه‌یش ده‌كاته‌ -1 چونكه‌ (1000 ژماره‌یه‌كی جووته‌). له‌مه‌یشه‌وه‌  7^1=7 له‌مه‌یشه‌وه‌ ده‌توانین بڵێن دوا ره‌نووسی وه‌لامه‌كه‌ ده‌كاته‌ 7 .

پرسیاری 2:

ئایا ڕه‌نووسی ده‌یان و یه‌كانی ئه‌م ژماره‌یه‌ چه‌نده‌ 7^{1942} ؟ له‌ڕووی تیۆریه‌وه‌ ده‌توانین وه‌لامی ئه‌م پرسیاره‌ بده‌ینه‌وه‌ ته‌نها به‌ به‌ حسابكردنی 7^{1942} ،به‌لام ئه‌مه‌ كاتێكی زۆری ده‌وێت. له‌وه‌یش زیاتر زۆر له‌و زانیاریانه‌ی كه‌ داوامانكردووه‌ ئه‌مانداتێت، یانی پێیوستمان به‌ ڕه‌نووسه‌كانی تر نیه‌ ئیتر بۆچی خۆمان ماندووبكه‌ین به‌ دۆزینه‌وه‌ی هه‌موویان وه‌كو له‌ پرسیاره‌كه‌دا باسمان كردووه‌، ته‌نها پێویستیمان به‌ ره‌نووسی ده‌یان و ڕه‌نووسی یه‌كان هه‌یه‌.له‌راستیدا گه‌ر توانیمان ماوه‌ی ئه‌م ژماره‌ بدۆزینه‌وه‌ كاتێك دابه‌شی 100 ده‌كرێت ئه‌وا ماوه‌ ده‌كاته‌ ڕه‌نووسی ده‌یان و یه‌كان. به‌كوردی و به‌كۆرتیه‌كه‌ی پرسیاره‌كه‌ ده‌گۆرین بۆ ئه‌ریسماتیكی مۆدی 100 . سه‌ره‌تا هه‌ڵده‌ستن به‌ ڕیزكردنی كۆمه‌ڵێك له‌ توانه‌كانی ژماره‌ 9 مۆدی  100. 7, 49, 43, 1, 7, 49, 43, 1, \ldots گه‌ر سه‌رنج بده‌یت ئه‌وا شێوازێك شكل وه‌رده‌گرێت! ده‌بینین كه‌ 7^4 = 2401 \equiv 1 (\mbox{mod} \, 100) كه‌واته‌ بۆ هه‌ر ژماره‌یه‌كی موجه‌بی ته‌واوی وه‌كو k ئه‌مه‌ی خواره‌وه‌مان هه‌یه‌: 7^{1940} = 7^{4 \cdot 485} \equiv 1 \, (\mbox{mod} \, 100) له‌ڕێگای یاسای لێكدانی مۆدیوله‌ر ئه‌ریسماتیكه‌وه‌ كه‌ له‌سه‌ره‌وه‌ باسمانكردووه‌ ئه‌مه‌ی خواره‌وه‌ به‌ ئه‌نجامده‌گه‌یه‌نێن 7^{1942} = 7^{1940} \cdot 7^2 \equiv 1 \cdot 7^2 \equiv 49 \, (\mbox{mod} \, 100) له‌مه‌یشه‌وه‌، له‌رێگه‌ی پێناسه‌ی هه‌مه‌چه‌شنه‌بوونه‌وه‌ 7^{1942} جیاوازه‌ له‌ 49 به‌ چه‌ندجاره‌ی ژماره‌ 100. له‌به‌رئه‌وه‌ی هه‌ردووكیان ژماره‌ی ته‌واوی موجه‌بن، ئه‌مه‌ مانای ئه‌وه‌ ده‌گه‌یه‌نێت كه‌ هه‌ردووكیان ره‌نووسی ده‌یان و یه‌كانیان هاوبه‌شه‌. له‌مه‌یشه‌وه‌ ده‌گه‌ینه‌ وه‌لام كه‌ 4 ره‌نووسی ده‌یانه‌ وه‌ 9 ره‌نووسی یه‌كانه‌.

پرسیار 3

ئه‌و ژماره‌یه‌ بدۆزه‌ره‌وه‌ كه‌ چه‌ندجاره‌ی 2 به‌لام چه‌ندجاره‌ی4 نیه‌ وه‌ مه‌رجیشه‌ دووجای ته‌واوبێت.

وه‌لام:

نه‌خێر ناتوانین ژماره‌ی له‌م چه‌شنه‌ بدۆزینه‌وه‌ چونكه‌ نیه‌. بابزانین بۆچی. سه‌ره‌تا پرسیاره‌كه‌ به‌م شێوه‌یه‌ی لێدێت: 4n+2=x^2 . ئینجا mod 4 هه‌ردوولا ده‌رده‌گرین به‌م شێوه‌یه‌ لێدێت x^2\equiv 2\pmod{4} , ئێستا ده‌گه‌ینه‌وه‌ ئه‌و ئه‌نجامه‌ی كه‌ هه‌رگیز x,x^{2} نابێته‌ چه‌ندجاره‌ی 4 كۆ 2.وه‌ ده‌بێت یه‌كێك له‌م كه‌یسانه‌ی خواره‌وه‌ ڕاستبێت: x\equiv 0\pmod{4}\implies x^2\equiv 0\pmod{4} x\equiv 1\pmod{4}\implies x^2\equiv 1\pmod{4} x\equiv 2\pmod{4}\implies x^2\equiv 4\equiv 0\pmod{4} x\equiv 3\pmod{4}\implies x^2\equiv 9\equiv 1\pmod{4} ئه‌مه‌یش ده‌مانگه‌یه‌نێته‌ ئه‌و قه‌ناعه‌ته‌ی كه‌ ئاسته‌مه‌ ژماره‌یه‌كی وه‌كو ئه‌وه‌ی له‌ پرسیاره‌كه‌دا هاتووه‌ بدۆزینه‌وه‌.

پۆخته‌و چه‌ند هاوئه‌نجامێكی به‌سوودی مۆدیوله‌ر ئه‌ریسماتیك

  • كۆكردنه‌وه‌: a+c\equiv b+d\pmod {m}
  • لێكده‌ركردن: a-c\equiv b-d\pmod {m}
  • لێكدان:ac\equiv bd\pmod {m}
  • دابه‌ش: \frac{a}{e}\equiv \frac{b}{e}\pmod {\frac{m}{\gcd(m,e)}} كاتێك هه‌ریه‌كه‌ له‌e,b دوو ژماره‌ی ته‌واوی موجه‌بن وه‌ d دابه‌شده‌كه‌ن.
  • توان: a^e\equiv b^e\pmod {m} كاتێك $latex e$ ژماره‌یه‌كی ته‌واوی موجه‌به‌.

سه‌رچاوه‌:-   http://britton.disted.camosun.bc.ca/modart/jbmodart.htm http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Modular_arithmetic/Introduction

Advertisements

وەڵامێک بنووسە

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / گۆڕین )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / گۆڕین )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / گۆڕین )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / گۆڕین )

Connecting to %s