به‌شی دووهه‌م : بیركاری و ئه‌بستراكتبوون

چه‌ند ساڵێك له‌مه‌وبه‌ر، له‌ پاشكۆی ئه‌ده‌بی  Times دا خوێندنه‌وه‌ بۆ كتێبێكی بواری بیركاری كرابوو وه‌ نووسه‌ره‌كه‌ به‌م په‌ره‌گرافه‌ی خواره‌وه‌ ده‌ستیپێكردبوو:

گه‌ر هاتوو 1×1=1 هه‌روه‌ها 0x0=0 له‌مه‌وه‌ تێده‌گه‌ین كه‌ ژماره‌ هه‌یه‌ كه‌ دووجایی خۆیانن، دواتریش ده‌گه‌ینه‌ ئه‌و ده‌رئه‌نجامه‌ی كه‌ ژماره‌ بوونی هه‌یه‌، به‌ تاقه‌ هه‌نگاوێكی  ساده‌ی ساویلكانه‌ توانیمان له‌ ئه‌ژماركردنێكی سه‌ره‌تاییه‌وه‌ بازبده‌ینه‌ بۆ سه‌ر ده‌رئه‌نجامێكی فه‌لسفه‌ی قه‌شه‌نگ كه‌ به‌ڕاده‌یه‌كی زۆر جێگای تێرامانه‌ : كه‌ ژماره‌كان بوونیان هه‌یه‌، كه‌ له‌وانه‌یه‌ له‌ سه‌ره‌تادا پێشبینی ئه‌وه‌ت كردبێت كه‌ به‌ده‌ستهێنانی ده‌رئه‌نجامێكی له‌و شێوه‌یه‌ قورس ده‌بێت.

A. W. Moore reviewing Realistic Rationalism, by Jerrold J. Katz, in the T.L.S., th September .

ده‌كرێت به‌ زۆر ڕێگا ره‌خنه‌ له‌م ئارگیومێنته‌ی سه‌ره‌وه‌ بگرین، له‌وانه‌یه‌ نوسه‌ره‌كه‌یش بۆ خۆیشی زۆر به‌جدی ئه‌و قسانه‌ی وه‌رنه‌گرتبێت. له‌گه‌ڵ ئه‌وه‌شدا به‌ دڵنیاییه‌وه‌ زۆر فه‌یله‌سووف هه‌یه‌ كه‌ به‌ حه‌ماسه‌ته‌وه‌ فكر له‌و پرسیاره‌ ده‌كه‌نه‌وه‌ كه‌ ئایا ژماره‌ بۆ خۆی بوونی هه‌یه‌، گه‌ر چی بۆ بیركاریزانه‌كان بوونی ژماره‌ شتێكی زۆر ڕوونه‌ یان هه‌ر له‌سه‌ره‌تاوه‌ نازانن كه‌ پرسیاره‌كه‌ باس له‌ چی ده‌كات. ئامانجی سه‌ره‌كی ئه‌م به‌شه‌ ئه‌وه‌یه‌ كه‌ روونی بكاته‌وه‌ كه‌ بیركاریزانه‌كان چۆن وه‌ بۆچی زۆر به‌سانایی ده‌توانن پرسیارێكی فه‌نده‌مینتاڵی له‌م چه‌شنه‌ پشتگوێبخه‌ن.

هیچیه‌تی ئه‌م ئارگیومێنته‌ “ساویلكه‌ ساده‌یه‌”ی باس له‌ بوونی ژماره ده‌كات‌ زۆر ڕوون ده‌بێت گه‌ر هاتوو ئارگیومێنتێكی هاووته‌ریبمان به‌كارهێنا سه‌باره‌ت به‌ گه‌مه‌ی شه‌تره‌نج. گه‌ر یاری شه‌تره‌نجت كردبێت سه‌رنجی ئه‌وه‌تداوه‌ كه‌ پادشا هه‌ندێكجار ده‌توانی به‌شێوه‌ی یه‌ك خانه‌ی تیره‌یی بجوێڵێت، له‌مه‌یشه‌وه‌ حاڵی ده‌بیت كه‌ پارچه‌یه‌كی شه‌تره‌نج هه‌یه‌ كه‌ ده‌توانێت یه‌ك خانه‌ی تیره‌یی هه‌نگاوبنێ. كه  له‌مه‌یشه‌وه‌ تێده‌گه‌ین كه‌ شه‌تره‌نج هه‌ندێك پارچه‌ی هه‌یه‌.

دیاره‌ مه‌به‌ست له‌م ئارگیومێنته‌ ساده‌یه‌ ئه‌وه‌ نیه‌ كه‌ خه‌ڵك هه‌ندێك جار پارچه‌كانی شه‌تره‌نج دروست ده‌كه‌ن- چونكه‌ ده‌كرێت یاری شه‌تره‌نج بكه‌یت بێ ئه‌وه‌ی پارچه‌كانیشت هه‌بێت- به‌ڵام ده‌رهاویشته‌ فه‌لسه‌فیه‌ قه‌شه‌نگه‌كه‌ ئه‌وه‌یه‌ كه‌ پارچه‌كانی شه‌تره‌نج بوونی به‌ده‌ره‌ له‌ سروشته‌ فیزیكیه‌كه‌ی( مادییه‌كه‌ی).

ده‌پرسین كه‌ ئایا پادشای ڕه‌ش چیه‌ له ناو‌ شه‌تره‌نج؟ ئه‌مه‌ پرسیارێكی نامۆیه‌ وه‌ باشترین ڕێگای مه‌مه‌ڵه‌كردن له‌گه‌ڵی ئه‌وه‌یه‌ كه‌ باشتر وایه‌ بۆ ماوه‌یه‌ك پشتگۆێیبخه‌ین. ئایا چیمان له‌وه‌ زیاتر پێده‌كرێت كه‌ ئاماژه‌ به‌ بۆردی شه‌تره‌نج بكه‌ین و باس له‌ یاساكانی ئه‌م‌ گه‌مه‌یه‌ بكه‌ین، له‌وانه‌یه‌ كه‌مێك گرنگی تایبه‌تیش به‌ ڕۆڵی پادشایی ڕه‌ش بده‌ین؟ ماهیه‌تی پادشای ڕه‌ش گرنگ نیه‌، یاخود چ سروشتێكی جه‌وهه‌ری هه‌یه‌، به‌ڵكو ئه‌وه‌ گرنگه‌ كه‌ پادشای ڕه‌ش له‌ناو گه‌مه‌كه‌ چ رۆڵێك ده‌گێڕێت.

ڕێگای ئه‌بستراكت له‌ بیركاریدا، كه‌ دیاره‌ زۆر جار به‌و شێوه‌یه‌ ناوده‌برێت، شتێكه‌ كه‌له‌ئه‌نجامی حاڵه‌تێكی هاوشێوه‌ بۆ ئۆبژێكته‌كی بیركاری ئه‌نجام ده‌درێت ئه‌م ئاڕاسته‌یه‌یی بیركردنه‌وه‌یه‌ش ده‌كرێت له‌ درووشمه‌دا كۆبكرێته‌وه‌: ئۆبژێكتێكی بیركاری بریتیه‌ له‌ شتێك كه‌ به‌كاره‌كه‌ی هه‌ڵده‌ستێ. ئه‌م درووشمه‌ی سه‌ره‌وه‌ له‌ زۆر جێگای تردا خراوه‌ته‌ ڕوو كاتێك باس له‌ فه‌لسه‌فه‌یی زمان ده‌كرێت وه‌ ده‌شكرێت ببێته‌ مایه‌یی شتێك كه‌ شایه‌نی مشت و مڕ بێت، دوو نموونه‌ له‌سه‌ر ئه‌مه‌ بریتیین له‌  “ له‌ زماندا ته‌نها جیاوازی بوونی هه‌یه‌ “  “مانای ووشه‌ بریتی یه‌ له‌ به‌كارهێنانه‌كه‌ی له‌ناو زماندا “  ئه‌مه‌یش ده‌گه‌رێته‌وه‌ بۆ Saussure وه‌ Wittgenstion به‌شێوه‌یه‌كی یه‌ك له‌ دوای یه‌ك. وه‌ ده‌كرێت كه‌سێك بێت و ئه‌و بانگه‌شه‌ ئاشكرایه‌یی كۆمه‌ڵه‌ی لۆژیكییه‌ پۆزه‌تیڤییه‌كانی بۆ زیاد بكات كه‌ ده‌ڵێن “ مانای هه‌ر ده‌سته‌واژه‌یه‌ك له‌ناو میتۆدی ته‌حقیقكردنیدایه‌” .

گه‌ر ئه‌م بۆچوونه‌ی منت له‌رووی فه‌لسه‌فیه‌وه‌ پێ هه‌زمنه‌كرا، له‌م كاته‌دا، وه‌ له‌م حاڵه‌ته‌دا ده‌كرێت كه‌ له‌ جیاتی ئه‌وه‌یی وه‌كو سیاغه‌یه‌كی دوگما حسابیی بۆ بكه‌یت، وابیری لێبكه‌یته‌وه‌ كه‌ ده‌كرێت وه‌كو هه‌ڵوێسته‌یه‌ك هه‌ندێك جار هه‌ڵیبژێریت و بیگریته‌به‌ر، له‌ ڕاستیدا، وه‌كو ئه‌وه‌یی من ده‌مه‌وێت نیشانی بده‌م كه‌ بۆ ئه‌وه‌یی له‌ بیركاری پێشكه‌وتوو حاڵی ببیت ئه‌وا پێویسته‌ ئه‌م هه‌ڵوێسته‌ی كه‌ باسمانكرد ته‌به‌نی بكه‌یت.

شه‌تره‌نج به‌بێ پارچه‌كانی ناوی

مایه‌یی پێكه‌نینه‌ گه‌ر قسه‌ له‌سه‌ر ئه‌و ڕاستیه‌ بكه‌ین كه‌ (له‌گه‌ل ئه‌وه‌یی كه‌ ئارگیۆمێنته‌كه‌م پشتی به‌ویش نه‌به‌ستووه‌) كه‌ شه‌تره‌نج یاخود هه‌ر یاریه‌كی هاوشێوه‌ی ئه‌و ده‌توانرێت بكرێته‌ مۆدێل له‌ڕێگای گرافه‌وه‌ ( له‌ كۆتایی به‌شی یه‌كه‌مدا باسمان له‌ گراف كرد).

Screenshot 2015-08-09 15.24.09

سه‌ری هێڵه‌كان باس له‌و حاڵه‌تانه‌ ده‌كات كه‌ ئه‌گه‌ری ڕوودانی هه‌یه‌ له‌ ناو گه‌مه‌كه‌. هه‌ردوو سه‌ری P وه‌ Q له‌ڕێگه‌ی لێوارێكه‌وه‌ به‌یه‌كده‌گه‌یه‌نرێن گه‌ر هاتوو كه‌سه‌كه‌ی كه‌ نۆره‌یه‌تی به‌شێوه‌یه‌كی لۆجیكی بجوڵێت له‌ نوكی P بۆ نوكی Q. وه‌ دیاریشه‌ چونكه‌ مه‌رج نیه‌ هه‌موو هه‌نگاوێكی شه‌تره‌نج پێچه‌وانه‌كه‌ی دروست بێت بۆیه‌ به‌ته‌نها یه‌ك ئاراسته‌ ده‌ڕوات واته‌ ئاراسته‌ی لێواره‌كان بۆ ته‌نها لایه‌كه‌، هه‌ندێك نووكی دیاریكراو تایبه‌ته‌ به‌ بردنه‌وه‌ی ڕه‌ش وه‌ هه‌ندێكی تر تایبه‌ته‌ به‌ سپی، وه‌ یاریه‌كه‌یش له‌ ته‌نها نوكێكی دیاریكراوه‌وه‌ ده‌ستپێده‌كات كه‌ دیاره‌ ئه‌م نووكه‌ ده‌ربڕی سه‌ره‌تایی یاریه‌كه‌یه‌، دواتر هه‌ر یاریزانێك له‌ نۆره‌یی خۆیدا هه‌ڵده‌ستێك به‌ جووڵه‌یه‌ك كه‌‌ ده‌بێت به‌ یه‌كێك له‌و نووكانه‌ی كه‌ له‌ هه‌نگاوی پێشتردا هه‌یه‌ ده‌ستپێبكات وه‌ ئامانج ئه‌وه‌یه‌ بگاته‌ ئه‌و نووكانه‌یی كه‌ تایبه‌ته‌ به‌ بردنه‌وه‌ی لایه‌نه‌ دیاریكراوه‌كه‌. ئه‌م یاریه‌ كه‌ به‌شێوه‌یه‌كی زۆر ساده‌كراوه‌ له‌ وێنه‌ی ژماره‌ -6- دا خراوه‌ته‌ ڕوو ( ئاسان نیه‌ كه‌ بزانین كه‌ ئاخۆ ستراتیجیه‌تی سپی براوه‌یه‌ یان نا).

ئه‌م مۆدێله‌ گرافه‌ی شه‌تره‌نج له‌گه‌ل ئه‌وه‌یی زۆر پراكتیكی نیه‌، به‌هۆیی زۆری جێگا مومكینه‌كانی ناوی كه‌چی هێشتا مۆدیلێكی نموونه‌ییه‌، به‌مانایه‌كی تر ئه‌م گه‌مه‌یه‌یی له‌م گرافه‌وه‌ ده‌ستمان ده‌كه‌وێت رێك هاوتایی یاری شه‌تره‌نجه‌كه‌یه‌. سه‌ڕه‌رایی ئه‌وه‌یی‌ له‌م مۆدیله‌دا به‌ هیچ كلۆجێك باسمان له‌ هیچ پارچه‌یه‌كی شه‌تره‌نجه‌كه‌ نه‌كردووه.هه‌ر له‌م گۆشه‌نیگایه‌شه‌وه‌‌ حاڵیده‌بین كه‌ گرنگ نیه‌ كه‌ باس له‌ بوونی پادشای ڕه‌ش بكه‌ین: بۆردی شه‌تره‌نج و پارچه‌كانی هیچ نیه‌ جگه‌ له كۆمه‌ڵێك بنه‌مایی ڕێكخراوه‌یی گونجاو، كه‌ یارمه‌تیمان ئه‌دات له‌ تێگه‌یشتن له‌ تێكه‌لكێشكردنێكی ئه‌فسووناوی نووكه‌كان له‌ڕێگه‌ی لێواره‌ به‌ ئاڕاسته‌كراوه‌كانه‌وه‌ له‌ گرافێكی زه‌به‌لاحدا. وه‌ گه‌ریش هاتوو شتێكی وه‌كو “ پادشای ڕه‌ش ده‌مرێت checkmate ‌  “ ئه‌وا كورتكراوه‌یی كۆمه‌ڵێكی درێژ له‌ نووكن كه‌ پێمان ده‌ڵێت یاریزانه‌كان گه‌یشتوونه‌ته‌ یه‌كێك له‌ نووكه‌كانی كۆتایی.

 ژماره‌ سروشتیه‌كان

((سروشتیه‌كان)) ناوێكه‌ بیركاریزانه‌كان به‌خشیویانه‌ به‌ ژماره‌ ناسراوه‌كانی 1,2,3,…، كه‌ ئه‌مانیش به‌ یه‌كێك له‌ ساده‌ترین ئۆبژێكته‌كانی ناو بیركاری داده‌نرێن، به‌ڵام ئه‌و ژمارانه‌ بۆ خۆیان بانگهێشتیمان ناكه‌ن تا به‌شێوه‌یه‌كی ئه‌بستراكتانه‌ بیربكه‌ینه‌وه‌. دواجاریش و پاش هه‌موو شتێك ده‌كرێت بپرسین كه‌ ئاخۆ ژماره‌یه‌كی وه‌كو ‌ 5 ده‌توانێت چی  بكات؟ كه‌ دیاره‌ وه‌كو پارچه‌كانی شه‌تره‌نج ناجوڵێت. له‌جیاتی ئه‌مه‌، دیاره‌ كه ژماره‌ پێنج له‌خۆیدا‌ سروشتێكی جه‌وهه‌ری هه‌یه‌، جۆرێك له‌ پێنجبوونێكی پۆخت كه‌ هه‌ركاتێك وێنه‌یه‌كی وه‌كو -7- مان بینی ئه‌وا یه‌كسه‌ر ژماره‌ 5 دێته‌ به‌رچاومان.

Screenshot 2015-08-09 16.33.36

 سه‌ره‌ڕایی ئه‌مه‌یش، كاتێك مامه‌ڵه‌ له‌گه‌ل ژماره‌یه‌كی گه‌وره‌ ده‌كه‌ین. كه‌متر هه‌ست به‌م پوختییه‌ ده‌كرێت. وێنه‌یی -8- نوێنه‌رایه‌تی ژماره‌كانی 12,7 وه‌ 47 ده‌كات. ڕاسته‌  هه‌ندێك كه‌س هه‌ن یه‌كسه‌ر ده‌زانن ژماره‌ی ئۆبژێكته‌كانی وێنه‌یه‌كی ناو  -8- ده‌كاته‌ 7‌، به‌ڵام زۆربه‌ری خه‌لكی ئاسایی به‌شێوه‌یه‌كی خێرا هه‌ڵده‌ستن به‌ ژماردنی نوخته‌كانی  لێواره‌كه‌ كه‌ ‌  6 ن له‌گه‌ل تاقه‌ نوخته‌یه‌كی ناو چه‌قه‌كه‌ واته‌ سه‌رجه‌م خاڵه‌كان ده‌كاته‌ 7=1+6 .

Screenshot 2015-08-09 16.33.36 copy

 به‌هه‌مانشێوه‌ ده‌كرێت بۆ 12 یش وابیری لێبكرێته‌وه‌ كه‌ ده‌كاته‌ 3 \times 4 یاخود 2 \times 6 . به‌لام بۆ 47 هیچ شتێكی دیاریكراومان نیه‌ بیریلێبكه‌ینه‌وه‌ تاوه‌كو ژماره‌ی خاڵه‌كان بزانین چه‌ندێكن به‌پێچه‌وانه‌ی 46 وه‌. وه‌ گه‌ر هاتوو ژماره‌ی خاڵه‌كانمان ڕێكخست به‌ شێوه‌ی‌ تۆرێكی 7 \times 7 خاڵی كه‌ ته‌نها  3 خاڵ له‌ناوه‌وه‌ی لابراوه‌، له‌مه‌یشه‌وه‌ ده‌توانین زانیاریه‌كانمان به‌كاربهێنین بۆ ئه‌وه‌ی بزانین كه‌ سه‌رجه‌م خاڵه‌كان ده‌كاته‌  7\times7-2=49-2=47 . گه‌ر نا هیچ ڕێگا چاره‌یه‌كی ترمان له‌به‌رده‌ستدا نیه‌ جگه‌ له‌وه‌یی كه‌ بێین و یه‌ك به‌ یه‌ك بیانژمێرین، به‌ڵام ئه‌م جاره‌یان ته‌نها وه‌كو ژماره‌یه‌كه‌ كه‌ پاش 46 دێت كه‌ دیاره‌ ئه‌ویش ژماره‌یه‌كه‌ كه‌ دوای 45 دێت وه‌ ئه‌وانی تریش به‌ هه‌مان شێوه‌.

بۆ حالیبوون له‌ ژماره‌كان مه‌رج نیه‌ پێویستیمان به‌وه‌بێت كه‌ له‌ خاسیه‌تی ژماره‌ی گه‌وره‌ بكۆڵینه‌وه‌ وه‌كو شتانێكی دابڕاو لێیان ڕابمێننین  له‌ڕێگای وابه‌سته‌بوونی به‌ ژماره‌كانی، وه‌ ،  دواتریش تیشك خستنه‌سه‌ر ڕۆڵی له‌ناو سیسته‌می ژماره‌كاندا كه‌ دیاره‌ ئه‌مه‌ مه‌به‌ستی من بوو كاتێك باسم له‌وه‌كرد كه‌ ئایا “چی “ ده‌كات ئه‌و ژماره‌یه‌.

ئێستا ڕوونه‌ كه‌ بیرۆكه‌ی ژماره‌ به‌ شێوه‌یه‌كی جه‌وهه‌ری گرێدراوه‌ به‌كرداره‌كانی ئه‌ژماردنی وه‌كو كۆكردنه‌وه‌ و لێكدانه‌وه‌‌. بۆ نموونه‌: بێ هه‌بوونی چه‌ند ئایدییایه‌ك له‌سه‌ر ئه‌ریسماتیك زۆر زه‌حمه‌ته‌ كه‌سێك بتوانێت ئیستیعابی ژماره‌یه‌كی وه‌كو 1,000,000,017 بكات. سیسته‌می ژماره‌كان به‌ته‌نها له‌ ژماره‌ پێكنه‌هاتوون، به‌ڵكو كۆمه‌ڵه‌ ژماره‌یه‌كن له‌گه‌ل كۆمه‌ڵه‌ یاسایه‌ك كه‌ بڕیار له‌سه‌ر چۆنیه‌تی ئه‌ژماركردن ئه‌ده‌ن. ڕێگایه‌كی تر بۆ پووختكردنه‌وه‌ی نزیكردنه‌وه‌یی ئه‌بستراكتی بیریتیه‌ له‌ : له‌ بری ئه‌وه‌ی بیر له‌ ژماره‌كان خۆی بكه‌یته‌وه‌ باشتره‌ كه‌ بیر له‌ یاساكان بكه‌یته‌وه‌ له‌ ڕێگای ئه‌م دیدگایه‌وه‌ ژماره‌كان هیچ نین جگه‌ له‌ هێمایه‌ك ناو یاریه‌كی وه‌رزشیدا كه‌ پێمانده‌ڵێت هه‌ر تیپه‌و چه‌ند گۆڵی تۆماركردووه‌ ( باشتره‌ بڵین كه‌ ده‌وری عه‌دادێك ده‌بینین).

بۆ په‌یداكردنی ئایدیایه‌ك له‌سه‌ر ماهیه‌تی یاساكان، با پرسیارێكی ساده‌یی ئه‌ریسماتیك بكه‌ین: گه‌ر كه‌سێك ویستی قه‌ناعه‌ت به‌ به‌رامبه‌ره‌كه‌ی بكات كه‌ 9994=38\times 263 ئه‌وا له‌ باشترین حاله‌تدا پێویسته‌ چی بكات؟ زۆر كه‌س ده‌چن له‌ ڕێگایی بژمێره‌وه‌( حاسیبه‌) ئه‌نجامه‌كه‌ ده‌دۆزنه‌وه‌، به‌لام له‌ حاڵه‌تێكدا كه‌ ئه‌مه‌ت له‌ به‌رده‌ستدا نه‌بوو چی تر به‌رده‌سته‌؟ باشتر وایه‌ ئه‌م جۆره‌ بیانوو هێنانه‌وه‌یه‌ی خواره‌وه‌ به‌كاربهێنین:

38\times 263=30\times 263+8\times263

=30\times200+30\times60+30x3+8x200\times 8\times 60\times 8\times3

=6000+1800+90+1600+480+24

=9400+570+24

=9994

ده‌كرێت بپرسین، بۆچی سه‌ره‌ڕایی هه‌موو شتێك ئه‌و هه‌نگاوانه‌یی كردمان ڕاست و ڕه‌وانن؟ بۆ نموونه‌ ، چۆن بڕوا به‌وه‌ بكه‌ین كه‌ 30 \times 200=6000 ؟ دیاره‌ كه‌ پێناسه‌ی 30 ده‌كاته‌ 3 \times 10 وه‌ پێناسه‌ی 200 بریتیه‌ له‌ 2\times(10 \times 10)، له‌به‌ر ئه‌م هۆیه‌یه‌ ده‌توانین به‌هه‌موو متمانه‌یه‌كه‌وه‌ كه‌ بڵین 30 \times 200=(3 \times 10) \times (2 \times (10 \times 10)). به‌لام باشه‌ بۆچی ئه‌مه‌ ده‌كاته‌ 6000 ؟

عاده‌ته‌ن كه‌س نیه‌ خۆی به‌ پرسیاری له‌م جۆره‌وه‌ سه‌رقاڵ بكات، به‌لام گه‌ریش كرا ئه‌وا ده‌توانین بڵین به‌و كه‌سه‌ی كه‌ پرسیار‌ه‌كه‌ی كردووه‌ كه‌‌ :

(3\times10)\times(2\times(10\times10))=(3\times2)\times(10\times10\times10)=6\times 1000=6000

بێئه‌وه‌یی ئێمه‌ له‌ ڕاستیدا بیریشمان لێكردبێته‌وه‌،  دوو حه‌قیقه‌تمان له‌سه‌ر كرداری لێكدانه‌كه‌ به‌كارهێناوه‌: كاتێك دوو ژماره‌ جاران ده‌كه‌یت ئه‌وا پاش و پێشكردنیان هیچ گرنگ نیه‌، وه‌ گه‌ر هاتوو زیاتر له‌سێ ژماره‌ت لێكدا ئه‌وا گۆڕانكاری ڕوونادات گه‌ر هاتوو شوێنی كه‌وانه‌كانت گواسته‌وه‌، بۆ نموونه‌ 7 \times 8=8 \times 7 بۆ دووهه‌میشیان (31\times 34) \times (35)=31 \times (34 \times 35) به‌دڵنیاییه‌وه‌ له‌سه‌ره‌تای ئه‌ژماركردنه‌كه‌دا گۆڕانكاری له‌ ژماره‌كاندا ڕووده‌دن به‌لام ئه‌نجامی كۆتایی یه‌كسانده‌بن. ئه‌و دوو یاسایه‌یی سه‌ره‌وه‌ پێیان ده‌وترێت یاسای ئاڵووگۆر وه‌ یاسایی یه‌كتربه‌ستن ی لێكدان. كاتی ئه‌وه‌ هاتووه‌ كه‌ لیستێك بۆ یاساكان دروستبكه‌ین كه‌ تیایدا هه‌ردوو یاساكه‌ی سه‌ره‌وه‌یشی تیادا كۆبكه‌ینه‌وه‌.

A1 یاسای ئاڵوگۆر بۆ كۆكردنه‌وه‌: a+b=b+a بۆ هه‌ردوو سروشتی وه‌كو a,b .

A2 یاسای یه‌كتربه‌ستنه‌وه‌ بۆ كۆكردنه‌وه‌ : a+(b+c)=(a+b)+c بۆ هه‌ر سێ ژماره‌یه‌كی سروشتی وه‌كو a,b,c .

M1 یاسایی ئاڵوگۆڕ بۆ لێكدان: ab=ba بۆ هه‌ردوو ژماره‌یه‌كی سروشتی وه‌كو a,b .

M2 یاسایی یه‌كتربه‌ستنه‌وه‌ بۆ لێكدان: a\times(b\times c)=(a\times b)\times c .

M3 ژماره‌ 1 دا‌نه‌ی بێلایه‌نی لێكدانه‌:  a \times 1=a بۆ هه‌ر ژماره‌یه‌كی وه‌كو  a  .

D یاسایی به‌شینه‌وه‌ی : (a+b)\times c=ac+bc بۆ هه‌ر سێ ژماره‌یه‌كی وه‌كو a,b,c .

هۆكاریی نوسینی ئه‌م یاسایانه‌ ئه‌وه‌یه‌ تا ئاگادارت بكه‌مه‌وه‌ وه‌ بزانیت كه‌ تاوه‌كو چه‌ندێك كاریگه‌ریان له‌سه‌ر بیركردنه‌وه‌مان هه‌یه‌، هه‌ڵبه‌ت ئه‌وه‌م نه‌خواستووه‌ كه‌ بمه‌وێت پێتیبڵێم ئه‌مانه ‌له‌خۆیاندا گرنگن، ته‌نانه‌ت بۆ ده‌سته‌واژه‌یه‌كی بیركاری ته‌واو ساده‌یش. متمانه‌ی ئه‌وه‌یی كه‌ له‌وێنه‌كه‌وه‌ 2\times 3=6 هه‌ر له‌م یاسایانه‌وه‌ هاتبوو.

*    *    *

له‌لایه‌كی تره‌وه‌، ڕێگای ڕاسته‌وخۆ بۆ تێگه‌یشتن له‌ ئه‌وه‌ی كه‌ 38 \times263=9994 به‌هیچ كلۆجێك به‌رده‌ست نیه‌، له‌به‌ر ئه‌م هۆیه‌یه‌ كه‌ ئه‌م پرسیاره‌ گرانه‌ ته‌واو به‌ ڕێگایه‌كی جیاواز دۆزیمانه‌وه‌، ئه‌ویش له‌ ڕێگای یاساكانی به‌شینه‌وه‌ و ئاڵوگۆر و یه‌كتربه‌ستنه‌وه‌، گه‌ر هاتوو ملكه‌چی ئه‌م یاسایانه‌ بووین ئه‌وا باوه‌ڕ به‌ ئه‌نجامه‌كانیشی ده‌كه‌ین، له‌مه‌یش زیاتر، متمانه‌مان به‌ وه‌ڵامه‌كه‌ له‌وه‌ زیاتر وه‌كو ئه‌وه‌ی له‌ وێنه‌كه‌ دۆزیمانه‌وه‌.

سفر

له‌ڕووی مێژوویه‌وه‌، سفر له‌ دوای سه‌رجه‌م ژماره‌ ته‌واوی موجه‌به‌كانه‌وه‌ په‌یدا بووه‌، هۆكاری ئه‌مه‌یش بۆ ئه‌وه‌ ده‌گه‌ڕێته‌وه‌‌ كه‌ سفر بیرۆكه‌یه‌كی دژیه‌ك و مانایه‌كی ته‌موومژاوی له‌ناو خۆیدا هه‌ڵگرتووه‌، كه‌ دیاره‌ ئه‌مه‌یش له‌وه‌وه‌ سه‌رچاوه‌ی وه‌رگرتووه‌ كه‌ (( چۆن ده‌كرێت شتێك هه‌بێت له‌ كاتێكدا ئه‌و شته‌ بۆ خۆی هیچه‌؟ )) به‌هه‌رحاڵ ، له‌ڕووی ئه‌بستراكته‌وه‌ سفر بریتیه‌ به‌ (به‌شێوه‌یه‌كی راسته‌خۆ) له‌ ته‌نها هێمایه‌ك كه‌ هاتووه‌ته‌ ناو سیسته‌می ژماره‌كانمانه‌وه‌. وه‌ ئه‌م خاسیاته‌نای خواره‌وه‌یشی هه‌یه‌:

A3 سفر دانه‌ی بێلایه‌نی كۆكردنه‌وه‌یه‌: a+0=a بۆ هه‌ر ژماره‌یه‌كی وه‌كو a .

بۆ ناساندنی سفر ته‌نها ئه‌م یاسایه‌ سه‌ره‌وه‌ كافییه‌، كه‌ دیاره‌ ئه‌مه‌ مانای چیه‌تی سفر ناگه‌یه‌نێت به‌ڵكو یاسایه‌كی بچووكه‌ پێمانده‌ڵێت‌ كاری سفر له‌ناو سیسته‌می ژماره‌كان چیه‌‌.

ده‌كرێت له‌ خۆمان بپرسین كه‌ ئاخۆ  چیتر له‌ خاسیه‌ته‌كانی سفر ده‌زانین، وه‌كو ئه‌وه‌ی 0 جارانی هه‌ر ژماره‌یه‌ك بكه‌ین ده‌كاته‌وه‌ سفر؟ دیاره‌ كه‌ ئه‌م یاسایه‌م باسنه‌كردووه‌ وه‌ نه‌مخستووته‌ ناو لیستی یاساكانی تره‌وه‌، هۆكاره‌كه‌یشی په‌یوه‌ندی به‌و حه‌قیقه‌ته‌وه‌ هه‌یه‌ كه‌ ده‌كرێت له‌ خاسیه‌تی A3 ده‌ستبخرێت. ئه‌مه‌ی خواره‌وه‌ نموونه‌یه‌كه‌:

پیشانی بده‌ كه‌ 2\times 0=0. پێشتر زانیومانه‌ كه‌ 1+1=2 وه‌ له‌ یاسای M1 ده‌زانین كه‌ 0\times 2=2 \times 0. پاشان یاسایی D پێمانده‌ڵێت كه‌ (1\times 1) \times 0=1 \times 0+1 \times 0 به‌ڵام 1 \times 0=0 به‌گوێره‌ی یاسای M3، دواتریش ده‌كاته‌  0+0 كه‌ به‌گوێره‌ی یاسای A3 پێویسته‌ 0+0=0 ئه‌مه‌یش كۆتایی ئه‌و ئه‌رگیومێنته‌یه‌ كه‌ ده‌ڵێت 2 \times 0=0.

هه‌ڵبه‌ت ئه‌رگیومێنتێكی تری نائه‌بستراكت هه‌یه‌ بۆ سه‌لماندنی ئه‌وه‌ی  2\times 0=0 كه‌ ده‌ڵێت ((  0 \times 2 یانی دوو جار هیچت هه‌بێت هه‌ر ده‌كاته‌وه‌ هیچ )) به‌ڵام ئه‌م ڕێگه‌یه‌ی بیركردنه‌وه‌یه‌ وا ده‌كات كه‌ زۆر گران بێت بتوانیت وه‌ڵامی پرسیاری له‌ جۆری ئه‌وه‌ی كوڕه‌ 6 ساڵانه‌كه‌م كرد كه‌ ده‌ڵێت: چۆن هیچ شتێك جارانی هیچ شتێكی تری بكه‌یت هه‌ر ده‌كاته‌وه‌ هیچ، چونكه‌ ئه‌مه‌ مانای ئه‌وه‌ ده‌به‌خشت كه‌ تۆ هیچت نیه‌، وه‌ڵامی باش، كه‌ دیاره‌ له‌و كاته‌دا بۆ ئه‌و گونجاو نه‌بوو ئه‌وه‌یه‌ كه‌ ده‌توانیت له‌ڕێگای یاساكانه‌وه‌ به‌ده‌ستیبهێنیت وه‌كو له‌ خواره‌وه‌ پیشانم داوه له‌به‌رامبه‌ریشیدا پیشاندراوه‌ كه‌ پشتی به‌ به‌ چ یاسایه‌ك به‌ستووه‌:

0=1\times0                M3

=(0+1)\times 0          A3

=0\times 0+1\times0   D

=0 \times 0+0            M3

=0+0 \times 0            A1

= 0 \times 0              A3

ده‌كرێت كه‌ بپریست له‌ خۆمان: بۆچی ئه‌م سه‌لماندنه‌ دووروو درێژه‌مان پیشاندا كه‌ خه‌ریك بوو له‌گه‌لیدا سه‌رمان گێژبخوات له‌كاتێكدا‌ ئه‌وه‌ی پیشانماندا ته‌نها حه‌قیقه‌تێكی بیركاری سه‌ره‌تایی بوو؟ هه‌ڵبه‌ت له‌به‌ر ئه‌وه‌یش نیه‌ كه‌ سه‌لماندنه‌كه‌ له‌ڕووی بیركاریه‌وه‌ هیچ شتێكی سه‌رنجراكێشی له‌خۆیدا هه‌ڵگرتبێت، به‌لكو مه‌به‌ستم بوو كه‌ پیشانی بده‌م مه‌به‌ست چیه‌ له‌وه‌ی بته‌وێت ڕه‌وابوونی حه‌قیقه‌تێكی بیركاری به‌شێوه‌یه‌كی ئه‌بستراكتیانه‌ بخه‌یته‌ ڕوو.( له‌ڕێگه‌ی به‌كارهێنانی كۆمه‌ڵێك یاسای ساده‌ و بێ ئه‌وه‌ له‌ خه‌می ئه‌وه‌دا بیت كه‌ بزانیت ئایا ژماره‌ خۆی چیه‌؟) له‌جیاتی ئه‌وه‌ی به‌شێوه‌یه‌كی كۆنكرێتی ( له‌ڕێگه‌ی دۆزینه‌وه‌ی مانا بۆ ده‌سته‌واژه‌‌ بیركاریه‌كه‌). به‌ دڵنیاییه‌وه‌ به‌ستنه‌وه‌ی مانا و وێنه‌ی زیهنی به‌ بابه‌ته‌ بیركاریه‌كان سودی خۆی هه‌یه‌، وه‌ك ئه‌وه‌ی له‌ زۆر جێگای ئه‌م كتێبه‌دا ده‌یبینین، هه‌رده‌م ئه‌م پێكه‌وه‌به‌ستنه‌ به‌س نیه‌ به‌تایبه‌ت له‌ جێگایه‌ك كه‌ نوێ یاخود له‌ كۆنتێكستێكدا كه‌ كه‌متر ناسراو بێت. به‌م جۆره‌یش میتۆده‌ ئه‌بستراكتیه‌كه‌ ده‌بێته‌ شتێك كه‌ ناتوانین ده‌ستبه‌رداری ببین.

ژماره‌ سالبه‌كان  و كه‌رته‌كان

بۆ كه‌سێكی ئه‌زمووندار له‌ فێركردنی بیركاری بۆ منداڵ ئه‌و ڕاستیه‌ ده‌زانێت، كه‌ په‌یوه‌ندیه‌كی ناڕاسته‌وخۆ هه‌یه‌ له‌ نێوان لێده‌ركردن و دابه‌ش كه‌ واده‌كات گرانتربن وه‌ك له‌ كۆكردنه‌وه‌ و لێكدان. ده‌كرێت بۆ ڕوونكردنه‌وه‌ی لێكده‌ركردن، كه‌سه‌كه‌ بیرۆكه‌ی لێی ده‌ربكه‌ یای لێی لابه‌ره‌ به‌كاربهێنیت، كردنی پرسیارێكی له‌ چه‌شنی، ‘ چه‌ند پرته‌قاڵ ده‌مێنێته‌وه‌ كاتێك به‌خۆت پێنج دانه‌ت هه‌یه‌ وه‌ سێیانیان ده‌خۆیت؟’ له‌گه‌ڵ ئه‌مه‌یشدا، هه‌میشه‌ ئه‌م بیرۆكه‌ی لابه‌ره‌ یاخود ده‌ربكه‌ ناتوانیت به‌كاربهێنیت یاخود بیریلێبكه‌یته‌وه‌. بۆ نموونه‌ گه‌ر یه‌كێك ویستی 98 له‌ 100 ده‌ربكات، له‌م كاته‌ باش نیه‌ باس له‌وه‌ بكه‌یت كه‌ 100 له‌ 98 لابه‌ریت، به‌لام باشتره‌ بڵیت كه‌ ئایا چه‌ند بخه‌یته‌ سه‌ر 98 تاوه‌كو بكاته‌ 100. هه‌مووكه‌س ده‌توانێت زۆر به‌ ئاسانی هه‌ڵبستێت به‌ شیكاركردنی هاوكێشه‌ی 98+x=100 كه‌ ته‌نها وه‌رگێرانی ئه‌و قسه‌یه‌ی سه‌ره‌وه‌یه‌ بۆ شێوازێكی فۆرماڵی بیركاریانه‌‌ ، له‌گه‌ل ئه‌مه‌یشدا به‌ دڵنیاییه‌وه‌ شتێكی ئاسایی نیه‌ بۆ پیتێكی وه‌كو x به‌ خه‌یاڵماندا بێت كاتێك سه‌رقاڵی شیكاركردنی پرسیاره‌كه‌ی سه‌ره‌وه‌بین، به‌هه‌مانشێوه‌، دوو ڕێگه‌ هه‌یه‌ بۆ تێگه‌یشتن له‌ دابه‌ش. بۆ ڕوونكردنه‌وه‌ی مانای ئه‌وه‌ی چیه‌ كاتێك ده‌ڵێین 50 دابه‌شی 10 ده‌كه‌ین، كه‌سێك ده‌توانێت پرسیاریكی تر بكات، ‘ گه‌ر هاتوو بمانه‌وێت په‌نجا ئۆبژێكت به‌سه‌ر ده‌ گروپدا به‌یه‌كسان ی دابه‌شبكه‌ین، ئایا هه‌ر گروپه‌ و چه‌ند دانه‌ له‌و ئۆبژێكته‌یان به‌رده‌كه‌وێت؟’ یاخود بپرسیت، ‘ گه‌ر هاتوو په‌نجا ئۆبژێكت به‌سه‌ر كۆمه‌ڵێك گروپدا دابه‌شبكرێت وه‌ هه‌ر گروپه‌ 10 دانه‌ی له‌و ئۆبژێكتانه‌ به‌ربكه‌وێت، ئایا چه‌ند گرووپمان هه‌یه‌؟ ‘ .میتۆدی دووهه‌م هاوشێوه‌ی ئه‌وه‌یه‌ كه‌ بڵێت، ‘ ده‌بێت ده‌ جارانی چه‌ند بكه‌یت تاوه‌كو بكاته‌ په‌نجا، كه‌ دیاره‌ ئه‌مه‌یش ده‌گۆرێت بۆ شیكاركردنی هاوكێشه‌یه‌كی وه‌كو 10x=50.

له‌گه‌ڵ ئه‌وه‌ی  ڕوونكردنه‌وه‌ی لێده‌ركردن و دابه‌ش بۆ منداڵ زه‌حمه‌ته‌، وه‌لێ هه‌ندێ جاریش مومكینیش نیه‌ ڕوونكردنه‌وه‌ی هاوشێوه‌ی ئه‌وه‌ی باسمانكرد بده‌یت. بۆ نموونه‌، تۆ ناتوانیت له‌ سه‌به‌ته‌یه‌ك پرته‌قاڵ كه‌ حه‌وت دانه‌ی تیادایه‌ ده‌ دانه‌ی لێببه‌خشیت، هه‌روه‌ها سێ منداڵ ناتوانن 11 هه‌ڵمات له‌نێوان خۆیاندا به‌ یه‌كسانی دابه‌شبكه‌ن. سه‌ره‌ڕای ئه‌مه‌یش، هیچ شتێك نیه‌ ده‌ستی كه‌سێكی گه‌وره‌بگرێت له‌وه‌ی 10 له7 ده‌ربكات وه‌ ژماره‌ -3 به‌ده‌ستبهێنێت. وه‌ ده‌شزانین كه‌ \frac{11}{3} ئه‌نجامی دابه‌شكردنی 11 به‌سه‌ر 3  دایه‌.واته ئه‌و ئه‌نجامانه‌ی كه‌ ده‌ستمانده‌كه‌وێت بۆ پرسیاره‌كان ده‌كاته‌ -3 وه‌ \frac{11}{3} به‌شێوه‌یه‌كی یه‌ك له‌دوای یه‌ك. دواتر پرسیارێكی تر سه‌رهه‌ڵده‌دات كه‌ ئه‌ویش: ئایا به‌ڕاستی هه‌ر دوو ژماره‌ی 3-  وه‌ \frac{11}{3} بوونیان هه‌یه‌، وه‌ گه‌ریش هه‌ن ئه‌وا ده‌كرێت قسه‌ له‌ سه‌ر ماهیه‌تییان بكه‌ین؟

له‌گۆشه‌ نیگای ئه‌بستراكته‌وه‌ ده‌كرێت هه‌مان شێوه‌ی مامه‌ڵه‌كردنمان له‌گه‌ڵ سفر دووباره‌ بكه‌ینه‌وه‌ بۆ ئه‌م دوو جۆره‌ ژماره‌یه‌ش: ئه‌و‌یش له‌ ڕێگه‌ی ئه‌وه‌ی سه‌ره‌تا ئه‌م ژمارانه‌ خۆیان له‌ بیرده‌كه‌ین و ته‌نها ڕاستیه‌ك كه‌ پێویستیمان پێی ده‌بێت بریتیه‌ له‌وه‌ی ‌ كه‌ گه‌ر هاتوو —3 له‌گه‌ل 3 دا كۆبكه‌ینه‌وه‌ ئه‌وا ئه‌نجام ده‌كاته‌ سفر،وه‌ ته‌نها شتێكیش له‌سه‌ر \frac{11}{3} كه‌ پێویسته‌ بیزانین ئه‌وه‌یه‌ كاتێك جارانی 3 ده‌كه‌ین ئه‌وا 11 مان ده‌ستده‌كه‌وێت. ئه‌مانه‌ی له‌سه‌ره‌وه‌ باسمانكرد یاسان، كه‌ ده‌رگامان بۆ ده‌كه‌نه‌وه‌ تاوه‌كو كرداری ئه‌ریسماتیك له‌سه‌ر سیسته‌مێكی گه‌وره‌تری ژماره‌كان ئه‌نجامبده‌ین. به‌لام ده‌كرێت یه‌كێك بپرسێت كه‌ ئایا بۆچی ده‌مانه‌وێت سیسته‌می ژماره‌كان فراونتربكه‌ین؟ وه‌لامی ئه‌م پرسیاره‌ ئه‌وه‌یه‌ كه سیسته‌مه‌ نوێیه‌ فراوانبووه‌ی ژماره‌كان‌ مۆدێلێكمان پێده‌به‌خشێت كه‌ ده‌توانین له‌ناویدا شیكاری هاوكێشه‌ی له‌ جۆری x+a=b وه‌ ax=b بكه‌ین، بۆ هه‌ر نرخێك كه‌ هه‌ردوو ژماره‌ی a,b, هه‌یانه‌ جگه‌ له‌وه‌ی له‌ هاوكێشه‌ی دووهه‌مدا نابێت a بكاته‌ سفر. بۆ بببینینی ئه‌م بۆچونه‌ به‌شێوازێكی تر، باشتره‌ بڵێین كه‌ ئه‌م سیسته‌می ژماره‌ فراوانه‌ مۆدیلێكمان ده‌داتێ كه‌ هه‌میشه‌ كرداری لێده‌ركردن و دابه‌ش تیایدا مه‌حاڵن‌، به‌مه‌رجێك گه‌ر تۆ ژماره‌یه‌ك دابه‌شی سفر نه‌كه‌یت. ( كێشه‌ی دابه‌شكردن به‌سه‌ر سفردا له‌ جێگایه‌كی تری ئه‌م به‌شه‌ له‌سه‌ری ده‌دوێیم).

وه‌كو ئه‌وه‌ی روویدا، بۆ فراوانكردنی سیسته‌می ژماره‌كان ته‌نها پێویستیمان به‌ زیادكردنی دوو یاسا هه‌بوو، كه‌ دانه‌یه‌كیان ژماره‌ سالبه‌كانمان ده‌داتێ، له‌كاتێكدا ئه‌وه‌ی دیكه‌یان كه‌رتمان ده‌داتێ یاخود ژماره‌ ڕێژه‌ییه‌كان وه‌كو ئه‌وه‌ی ناسراوه‌.

A4 دژه‌ كۆكردنه‌وه‌: بۆ هه‌موو ژماره‌یه‌كی وه‌كو a دژه‌ كۆكردنه‌وه‌كه‌ی ده‌كاته‌ ژماره‌یه‌كی وه‌كو b كاتێك a+b=0 .

M4 دژه‌ لێكدان: بۆ هه‌ر ژماره‌یه‌كی وه‌كو a به‌مه‌رجێك نه‌كاته‌ سفر ئه‌وا دژه‌ لێكدانی a ده‌كاته‌ c كاتێك ac=1 .

كاتێك خۆمان به‌م یاسایانه‌ چه‌كدارده‌كه‌ین، ده‌توانین هێمای وه‌كو -a وه‌ \frac{1}{a} دابنین بۆ هه‌ریه‌كه‌ له‌ b ,c به‌شێوه‌یه‌كی یه‌كله‌دوایه‌ك له‌ A4 وه‌ له‌ .M4 كه‌ دیاریشه‌ بۆ حاڵه‌تی گشتی وه‌كو \frac{p}{q} ، مه‌به‌ستمان له‌ p كه‌ جارانی \frac{1}{q} كراوه‌.هه‌ردوو یاسای A4 و M4 دوو یاسای تریان لێوه‌ په‌یداده‌بێت، كه‌ به‌ یاسای لابردن ( بۆ كۆكردنه‌وه‌ وه‌ لێكدان) ناسراوون.

A5 یاسای لابردن بۆ كۆكردنه‌وه‌: بۆ هه‌ر سێ ژماره‌یه‌كی وه‌كو a,b,c گه‌ر هاتوو a+b=a+c  ئه‌وا b=c .

M5 یاسای لابردن بۆ لێكدان: بۆ هه‌ر سێ ژماره‌یه‌كی وه‌كو a,b,c وه‌ كاتێكیش كه‌ a ناكاته‌ سفر ئه‌وا  گه‌ر هاتوو ab=ac ئه‌وا b=c .

ده‌كرێت یاسای یه‌كه‌م بسه‌لمێنرێت له‌ رێگه‌ی زیادكردنی -a بۆ هه‌ردوولای هاوكێشه‌كه‌، وه‌ بۆ هاوكێشه‌ی دووهه‌م گه‌ر هاتوو هه‌ردوو لای هاوكێشه‌كه‌ جارانی \frac{1}{a} بكرێت ئه‌وا وه‌كو ئه‌وه‌ی چاوه‌ڕوانمانده‌كرد b یه‌كسانده‌بێت به‌ a. گه‌ر سه‌رنج له‌ هه‌ردوو یاسای A5 وه‌ M5 بده‌یت ئه‌وا  له‌وانی دیكه‌ جیاوازتره‌ به‌وه‌ی ئه‌م دوو یاسایه‌ له‌ ده‌رئه‌نجامی  یاساكانی پێشووتر به‌ده‌ستهاتووه‌ وه‌ك له‌وه‌ی به‌خۆمان به‌مه‌به‌ستی خۆشكردنی یاریه‌كه‌ زیادمانكردبێت.

گه‌ر هاتوو یه‌كێك پرسیاری ئه‌وه‌ی كرد كه‌ ئایا چۆن دوو كه‌رت ده‌كرێت كۆ بكرێنه‌وه‌، هه‌روه‌كو \frac{3}{5} وه‌ \frac{3}{7} ، ئه‌وا ئه‌و ڕێگایه‌ی كه‌ پێی راهاتووین بریتیه‌ له‌ دۆزینه‌وه‌ی ژێره‌ی هاوبه‌ش بۆ هه‌ردوو كه‌رته‌كه‌ به‌م شێوه‌یه‌:

\frac {2}{5} + \frac{3}{7} = \frac{14}{35} +\frac{15}{35} =\frac{29}{35}

ئه‌م ته‌كنیكه‌، وه‌ هه‌ندێكی تری هاوشێوه‌ی ئه‌مه‌، ده‌كرێت له‌رێگه‌ی یاسا نوێیه‌كانمانه‌وه‌ له‌ ڕاست و درووستیان  دڵنیاببینه‌وه‌. بۆ نموونه‌.

35 \times \frac{14}{35}=35\times(14\times \frac{1}{35})=(35 \times 14) \times \frac{1}{35}

=(14 \times 35) \times \frac{1}{35}

= 14 \times (35 \times \frac{1}{35})=14 \times 1=14

هه‌روه‌ها

35 \times \frac{2}{5}= (5 \times 7) \times ( 2 \times \frac{1}{5}) = ( 7 \times 5 ) \times ( \frac{1}{5} \times 2 ) = (7 \times (5 \times \frac{1}{5}))\times 2

=(7\times 1)\times 2=7 \times 2=144

له‌مه‌یشه‌وه‌ ، به‌گوێره‌ی یاسای M5، \frac{2}{5} وه‌ \frac{14}{35} یه‌كسان ده‌بن ، هه‌روه‌كو له‌ ئه‌ژماركردنه‌كه‌دا پیشانماندا.

به‌هه‌مانشێوه‌، ده‌كرێت راستیه‌ باوه‌كان سه‌باره‌ت به‌ ژماره‌ سالبه‌كان پیشانبدرێت. من بۆ خوێنه‌ری به‌جێده‌هێڵێم له‌ دروستی ئه‌م هاوكێشه‌یه‌ دڵنیاببه‌ته‌وه‌ -1 \times -1=1 ته‌نها له‌ڕێگای ئه‌و یاسایانه‌ی كه‌ پێشتر باسمانكردووه‌. وه‌ ده‌كرێت سود له‌و ئارگیومێنه‌ته‌ وه‌ربگریت كه‌ بۆ سه‌لماندنی 0\times 0=0  به‌كارمانهێنا.

گه‌ر هاتوو پرسیاری ئه‌وه‌مان له‌ خۆمان كرد كه‌ ئاخۆ خه‌ڵكی بۆ له‌ پێشچاویان ژماره‌ سالبه‌كان كه‌متر واقیعیانه‌ترن به‌به‌راورد به‌ ژماره‌ موجه‌به‌كان؟ له‌وانه‌یه‌ هۆكاره‌كه‌ی بۆ ئه‌وه ‌بگه‌رێته‌وه‌ كه‌ ئیشوكاری ڕۆژانه‌ی مرۆڤ كه‌ زیاتر ژماردنه‌ له‌ ڕێگای ژماره‌ موجه‌به‌كانه‌وه‌ ئه‌نجامبدرێت كه‌ دیاریشه‌ سوود له‌ ژماره‌ سالبه‌كان وه‌رناگیرێن، هه‌موو ئه‌مانه‌ پێمانده‌ڵێن كه‌ ژماره‌ سروشتیه‌كان( كه‌ وه‌كو مۆدێلێك وه‌ریده‌گرین) به‌سوودن له‌ بارودۆخێكی دیاریكراودا، به‌لام سیسته‌می فراوانبووی ژماره‌كان به‌و جۆره‌ نیه‌. گه‌ر ویستمان بیر له‌ پله‌ی گه‌رما بكه‌ینه‌وه‌ یاخود به‌رواره‌كان و ئه‌ژماره‌ بانكیه‌كان ئه‌وا به‌ تاكید ژماره‌ سالبه‌كان سودی خۆی ده‌بێت. وه‌ له‌به‌ر ئه‌وه‌ی سیسته‌می ژماره‌ فراوانبووه‌كه‌ له‌ڕووی لۆژیكیه‌وه‌ گونجاوه‌، كه‌واته‌ هیچ زیانێكی نیه‌ گه‌ر هاتوو وه‌كو مۆدیلێك به‌كارمانهێنا.

له‌وانه‌یه‌ شتێكی سه‌یربێت گه‌رهاتوو سیسته‌می ژماره‌ سروشتیه‌كانمان وه‌كو مۆدێل ته‌ماشاكرد.ئایا ئێمه‌ به‌راستی ناتوانین بژمێرین به‌بێ نموونه‌یبونێكی تایبه‌تی زمنی؟به‌ڵی له‌ڕاستیدا واده‌كه‌ین، به‌ڵام ئه‌م پرۆسه‌یه‌ هه‌میشه‌ شیاوه‌، یان ته‌نانه‌ت مومكینه‌. هه‌لبه‌ت هیچ هه‌له‌یه‌ك له‌ ژماره‌یه‌كی وه‌كو 1394840275936498649234987 نیه‌ كاتێك له‌ گۆشه‌نیگای بیركاریه‌وه‌ ته‌ماشا ده‌كرێت، به‌ڵام گه‌ر ئێمه‌ نه‌توانین ژماره‌ی‌ ده‌نگده‌ره‌كانی فلۆریدا بژمێرین، ئه‌وا شتێكی باوه‌ڕنه‌كراوه‌ كاتێك بمانه‌وێت له‌وه‌ دڵنیابین كه‌ ئێمه‌ كۆمه‌ڵێك له‌    1394840275936498649234987 ئۆبژێكتمان هه‌یه‌. گه‌ر هاتوو تۆ دوو تۆپه‌ڵ گه‌ڵات بۆ تۆپه‌ڵێكی تر له‌ گه‌ڵا زیادكرد، ئه‌وا سه‌رئه‌نجام سێ تۆپه‌ڵ گه‌لامان نیه‌،به‌لكو یه‌ك تۆپه‌ڵی گه‌وره‌ گه‌ڵات هه‌یه‌. یان گه‌ر هاتوو بارانێكی به‌خوڕت هه‌بوو ئه‌وا وه‌كو Wittgenstein ده‌ڵێت “     وه‌ڵامی گونجاو بۆ پرسیاری وه‌كو “ چه‌ند دڵۆپه‌ بارانت بینی ؟ “ ده‌بێت زۆره‌ بێت نه‌ك ژماره‌یه‌ك چونكه‌ ئێمه‌ نازانین چه‌ند دڵۆپ باریوه‌’ .

ژماره‌ی ڕاستییه‌كان و ژماره‌ی ئاوێته‌كان

ژماره‌ی راستی پێكدێت له‌ هه‌موو ئه‌و ژمارانه‌ی كه‌ ده‌توانرێت به‌ ڕێگایی ژماره‌ییه‌كی ده‌یی ناكۆتا بنوسرێت. ئه‌م كۆنسێپته‌ زۆر له‌وه‌ ئالۆزتره‌ كه‌ ئێمه‌ ده‌یبینین، له‌ به‌ر چه‌ند هۆكارێك كه‌ له‌ به‌شی٤ له‌سه‌ری ده‌دوێین. بۆ ئێستا، لێگه‌ری ئه‌وه‌نده‌ت پێبڵێم كه‌ هۆكاری ئه‌وه‌ی سیسته‌می ژماره‌ رێژه‌ییه‌كانمان فراوانتركرد بۆ سیسته‌می ژماره‌ ڕاستیه‌كان هه‌مان هۆكاری زیادكردنی ژماره‌ سالبه‌كان و كه‌رته‌كانه‌: كه‌ له‌ڕێگه‌یانه‌وه‌ ده‌مانتوانی شیكاری زۆرێك له‌ هاوكێشه‌ بكه‌ین، كه‌ پێشتر مه‌حاڵنه‌بوو كاری له‌و جۆره‌.

له‌به‌ناوبانگترین نموونه‌یش له‌سه‌ر ئه‌مه‌ هاوكێشه‌ی x^2=2 .له‌ سه‌ده‌ی شه‌شه‌هه‌می پێش زاییندا  فیساگۆریسه‌كان ژماره‌‌ \sqrt{2} دۆزیه‌وه‌ وه‌ پیشانیشیاندا كه‌  ژماره‌یه‌كی ناڕێژه‌ییه‌، كه‌ مه‌به‌ست لێیی ئه‌وه‌یه‌ كه‌ ناتوانرێت به‌ شێوه‌ی كه‌رتی بنوسرێت. ( سه‌لماندنی ئه‌مه‌ له‌ به‌شه‌كه‌ی داهاتوودایه‌). ئه‌م دۆزینه‌وه‌یه‌وه‌ جۆره‌ تۆقاندن و شڵه‌ژانێكی له‌ناو قوتابخانه‌ی فیساگۆرسیه‌كان دروستكرد واته‌ \sqrt{2} ته‌واو ژماره‌یه‌كی ته‌واو نامۆ و نه‌خوازراو بوو بۆیان، به‌لام ئێستا به‌ خۆشحاڵیه‌وه‌ ئه‌م حه‌قیقه‌ته‌مان قبوڵكردووه‌ كه‌ گه‌ر هاتوو بمانه‌وێت مۆدێله‌كه‌مان فراوانتربكه‌ین تاوه‌كو درێژی تیره‌ی چوارلایه‌كی یه‌ك یه‌كه‌یی(unit square)  له‌ناودابێت. جارێكی تر دووباره‌،  میتۆدی ئه‌بستراكت ئه‌ركی ئێمه‌ ئاسانتر ده‌كات. هێمایه‌كی تر ده‌ناسێنین كه‌ ئه‌ویش \sqrt{2} ، وه‌ یه‌ك یاسامان هه‌یه‌ كه‌ پێمانده‌ڵێت ئه‌م ژماره‌یه‌ چۆن كارده‌كات : گه‌ر \sqrt{2} دووجای بكه‌یت ئه‌وا ده‌كاته‌ 2.

گه‌ر تۆ باش ڕاهێنرابیت، ئه‌وا ڕه‌خنه‌ له‌و قسه‌یه‌ی سه‌ره‌وه‌ی ده‌گریت به‌وه‌ی یاساكه‌ی كه‌ باسمكردووه‌، هیچ جیاكاریه‌ك له‌نێوان \sqrt{2} وه‌ -\sqrt{2} دا ناكات. ڕێگایه‌ك بۆ چاره‌سه‌ركردنی ئه‌مه‌ ناساندنی كۆنسێپتێكی نوێیه‌ بۆ ناو ئه‌م سیسته‌می ژماره‌یه‌ی كه‌ هه‌مانه‌، ئه‌ویش ڕیزكردنه‌وه‌ (order) یانی گه‌وره‌و بچووكی. زۆر جار سودی هه‌یه‌ گه‌ر  هاتوو قسه‌ له‌سه‌ر ئه‌وه‌ بكه‌ین كه‌ ژماره‌یه‌ك له‌ ژماره‌یه‌كی تر گه‌وره‌تره یان بچوكتره‌‌، وه‌ گه‌ریش ڕێگه‌مان به‌ خۆماندا كه‌ كارێكی له‌و شێوه‌یه‌ بكه‌ین ئه‌وا خاسیه‌تێكی تریش بۆ \sqrt{2}زیاد ده‌بێت كه‌ ده‌ڵێین\sqrt{2} له‌‌ 0 گه‌وره‌تره‌. هه‌ڵبه‌ت بێ ئه‌مه‌یش هه‌ر ده‌توانین كرداری ژمێركاری له‌ جۆری ئه‌مه‌ی خواره‌وه‌ بكه‌ین.

Screenshot 2015-08-08 00.56.02 copy

وه‌ له‌ ڕاستیدا جیاوازی نه‌كردینیش له‌ نێوان \sqrt{2}وه‌ -\sqrt{2} سودبه‌خشه‌ به‌وه‌ی كه‌ ده‌زانین كه‌ ژمێركاریه‌كه‌ی سه‌ره‌وه‌ بۆ هه‌ردووكیان دروسته‌.

له‌ڕووی مێژووییه‌وه‌، په‌نجه‌مۆری ئه‌به‌ستراكردن به‌سه‌ر زاراره‌وه‌ بیركاریه‌كانیش به‌زه‌قی ده‌بینرێت، كاتێك ژماره‌ی نوێ پێناسه‌ كراوه‌ پاشئه‌وه‌ی له‌ هه‌وڵی فراونكردنی سیسته‌می ژماره‌كانماندا بووین، ووشه‌كانی وه‌كو (سالب) وه‌ (ژماره‌ی ناڕێژه‌یی) ، به‌لام هه‌ندێك ژماره‌ی تر هه‌ن كه‌ ئیستیعابكردنیان قورسته‌ ئه‌وانیش ژماره‌كانی وه‌كو ( خه‌یاڵی) یاخود ( ژماره‌ ئاوێته‌كان) نن كه‌ ئه‌مانیش جۆره‌  ژماره‌یه‌كن كه‌ به‌شێوه‌ی a+b\, i ده‌نوسرێن، كاتێك هه‌ریه‌ك له‌ a,b ژماره‌ی ڕاستین، وه‌ i ده‌كاته‌ ڕه‌گی دووجای ژماره‌-1 .

وه‌ له‌ گۆشه‌ نیگایه‌كی واقیعیانه‌وه‌ ده‌كرێت به‌ خێرایی چاوپۆشی له‌ ڕه‌گی دووجای -1 (سالب یه‌ك)بكه‌ین: وه‌ له‌ به‌رئه‌وه‌ی ڕه‌گی دووجای هه‌ر ژماره‌یه‌ك موجه‌به‌،-1 ڕه‌گی دووجای نیه‌, كه‌ ئه‌مه‌یش كۆتایی چیرۆكه‌كه‌یه‌. سه‌ره‌ڕای هه‌بوونی ئه‌م گازه‌نده‌ییه‌  كه‌چی هیچ ئاسته‌نگێكی دانه‌ناوه‌ له‌وه‌ی كه‌سێك بێت و هه‌وڵی ته‌به‌نی كردنی ڕوانگه‌یه‌كی ئه‌بستراكیانه‌ی بۆ بكات. دواتر له‌ خۆمان ده‌پرسین بۆچی زۆر به‌ ساده‌یی به‌رده‌وامنه‌بین له‌سه‌ر پرۆسه‌ی فراوانكردنی سیسته‌می ژماره‌كه‌مان، ئه‌ویش له‌ ڕێگای هێنانه‌ ناوه‌وه‌ی شیكاری هاوكێشه‌ی x^2=-1 بۆ ناو سیسته‌مه‌ نوێیه‌كه‌ وه‌ ناویشی لێبینین i ؟ وه‌ بۆچی ده‌بێت زیاتر نارازیبین وه‌كو له‌وه‌ی كاتێك \sqrt{2} له‌كاتی ناساندنیدا ده‌رمانبڕی ؟

یه‌كێك له‌ وه‌ڵامه‌كان له‌وانه‌یه‌ ئه‌وه‌بێت كه‌ بڵێن چونكه‌ \sqrt{2} فراوانبوونی كه‌رتی (Decimal Expansion) هه‌یه‌ كه‌ ده‌كرێت بۆ بۆ ئه‌و  دیققه‌یه‌ی كه‌ مه‌به‌ستمانه‌ بیدۆزینه‌وه‌، له‌كاتێكدا هیچ شتێك هاوشێوه‌ی ئه‌مه‌ نیه‌ بۆ i ی. به‌لام ئه‌مه‌ بۆ ئه‌وه‌ ده‌گه‌رێته‌وه‌ كه‌ ئێمه‌ ئه‌م شتانه‌مان ‌ پێشتر زانیوه‌ هه‌ر‌وه‌كو ئه‌وه‌ی \sqrt{2} ژماره‌یه‌كی ڕێژه‌یی نیه‌ بۆیه‌ ناتوارێت هیچ له‌سه‌ری بوترێت به‌هه‌مان شێوه‌یش چونكه‌ i ژماره‌یه‌كی ڕاستی نیه‌ كه‌واته‌ ناتوانین به‌گوێره‌ی ئه‌و قسه‌ی له‌سه‌ر بكه‌ین. دیاره‌ ئه‌مه‌یش ساردمان ناكاته‌وه‌ له‌وه‌ی هه‌ڵبستین به‌ فراوانكردنی سیسته‌می ژماره‌كان بۆ دانه‌یه‌ك كه‌ تیایدا بتوانین ئه‌ژماركاری له‌ جۆری ئه‌مه‌ی خواره‌وه‌ی تیادا  بكه‌ین:

Screenshot 2015-08-08 00.56.02

جیاوازی سه‌ره‌كی له‌نێوان  i وه‌ \sqrt{2} ئه‌وه‌یه‌ كه‌ ئێمه‌ له‌ حاڵه‌تی i دا ناچارین به‌ شێوه‌یه‌كی ئه‌بستراكت بیربكه‌ینه‌وه‌، به‌لام له‌ حاڵه‌تی \sqrt{2} دا ده‌كرێت به‌شێوه‌یه‌كی كۆنكرێتی یاخود واقیعیانه‌تر مامه‌ڵه‌ی له‌گه‌لدا بكه‌ین بۆ نموونه‌ ده‌كرێت به‌م جۆره‌ ده‌ریببڕین 1.4142…  یاخود  بڵێین كه‌ درێژی تیره‌ی چوارلایه‌كسانێك كه‌ درێژی لایه‌كی یه‌ك یه‌كه‌ی دووریه‌. بۆ ئه‌وه‌ی له‌وه‌ حالیببین كه‌ بۆچی ناتوانین سه‌باره‌ت به‌  i هه‌مان ده‌ربڕینمان هه‌بێت، باشتره‌ پرسیارێك له‌ خۆمان بكه‌ین: كه‌ ئایا چ یه‌كێك له‌و‌ دوو ڕه‌گی دووجایه‌ی -1 ده‌كاته‌  i وه‌ كامه‌ی تریان‌ ده‌كاته‌  -i . له‌به‌رئه‌وه‌ی  -i هه‌مان خاسیه‌تی هه‌یه‌، هه‌موو ده‌سته‌واژه‌یه‌كی راست بۆ  i به‌هه‌مان شێوه‌یش راست ده‌رده‌چێت بۆ -1. هه‌ڵبه‌ت ئه‌مه‌ قورسه‌ ئیستیعابی ئه‌وه‌ بكه‌ین كه‌ رێزمان بۆ ئه‌و روئیایه‌ هه‌بێت كه‌  i ده‌ربڕی هه‌بوونی  ته‌نێكی پلاتۆنیكی سه‌ربه‌خۆیه.‌

دیاره‌ لێره‌دا‌ هاوته‌ریبیه‌ك هه‌یه‌ له‌گه‌ل لوغزێكی زۆر-به‌ناوبانگی فه‌لسه‌فی كه‌ ده‌ڵێت: له‌وانه‌یه‌ هه‌ستكردنی تۆ به‌ تێبینیكردنی ره‌نگی سور هه‌مان ئه‌و ته‌سه‌وره‌ بێت كه‌ من هه‌مه‌ كاتێك سه‌رنج له‌ ڕه‌نگی سه‌وز ئه‌ده‌م،وه‌ پێچه‌وانه‌یشه‌وه‌‌. هه‌ندێك له‌ فه‌یله‌سووفه‌كان ئه‌م پرسیاره‌یان زۆر به‌ جدی وه‌رگرتووه‌ و هاتوون و  پێناسه‌ی “qualia” یان كردوه‌ كه‌ مه‌به‌ست لیی ئه‌زمونێكی زاتی موتڵه‌قه‌ كه‌ به‌سه‌رماندا دێت كاتێك بۆ نموونه‌ ، ڕه‌نگێك ده‌بینین. هه‌ندێكی تر باوه‌ڕیان به‌مه‌ نیه‌، به‌لای ئه‌وانه‌وه‌، ووشه‌یه‌كی وه‌كو ‘سه‌وز’ پێناسه‌كراوه‌ به‌ شێوه‌یه‌كی ئه‌بستراكت به‌وه‌یه‌ رۆڵی ئه‌م ووشه‌یه‌ له‌ سیسته‌می زمانه‌وانیدا (لینگویستیك) چیه‌، واته‌، به‌هۆی په‌یوه‌ندی له‌گه‌ل كۆنسێپتێكیی له‌شێوه‌ی “ گه‌ڵا” ، ‘سور’ به‌م شێوه‌یه‌. شتێكی ئاسته‌مه‌ كه‌بتوانیت له‌ڕێگای پێگه‌ی كه‌سێكه‌وه‌ كه‌ قسه‌ له‌سه‌ر ڕه‌نگ ده‌كات ئه‌مه‌ به‌ده‌ستبهێنیت، مه‌گه‌ر له‌ حاله‌تێكدا نه‌بێت كه‌ دیبه‌یتێكی فه‌لسه‌تی هه‌بێت. به‌هه‌مانشێوه‌ هه‌موو ئه‌و شتانه‌ی كه‌ گرنگه‌ له‌ پراكتیدا ده‌رباره‌ی ژماره‌كان وه‌ ئۆبژێكته‌ بیركاریه‌كان ئه‌و یاسایانه‌یه‌ كه‌ ملكه‌چیان ده‌بن.

گه‌ر هاتوو ئێمه‌ i  مان ناساند تاوه‌كو بتوانین هاوكێشه‌ی له‌ شێوه‌یه‌ x^2=-1 شیكاربكه‌ین، ئه‌و كاته‌ ده‌بێت قسه‌مان له‌سه‌ر هه‌ندێك هاوكێشه‌ی تری هاوشێوه‌ی ئه‌مه‌  چی بێت، بۆ نموونه‌x^4=-3 یاخود x^6+3x+17=0 ؟ ئه‌وه‌ی شایه‌نی باسه‌، سه‌لمێنراوه‌ كه‌ هه‌موو هاوكێشه‌یه‌كی له‌و جۆره‌ ده‌كرێت شیكاربكرێت له‌ناو سیسته‌می ژماره‌ ئاوێته‌كان. به‌مانایه‌كی تر ئێمه‌ وه‌به‌رهه‌مهێنانێكی بچوكمان كرد كاتێك هاتین وi مان ناساند به‌لام دواتر چه‌ند قاتی ئه‌و ماندووبوونه‌ پاداشت كراینه‌وه‌. ئه‌م ڕاستیه‌، كه‌ له‌ڕووی مێژوویه‌وه‌ ئالۆزه‌ به‌لام به‌گشتی فه‌زله‌كه‌ی ده‌گه‌رێته‌وه‌ بۆ Gauss ، كه‌ دیاره‌ به‌ بیردۆزی گشتی فه‌نده‌مانتالی ئه‌لجه‌برا ناسراوه‌، به‌شێوه‌یه‌كی دڵنیاكه‌ره‌وه‌ ده‌تگه‌یه‌نێته‌ ئه‌و قه‌ناعه‌ته‌ی كه‌ ژماره‌یه‌كی وه‌كو i چه‌ند سروشتیه‌ .دیاره‌ شتێكی مه‌حال نیه‌ بیرله‌وه‌ بكه‌یته‌وه‌ كه‌ سه‌به‌ته‌یه‌ك پرته‌قاڵت هه‌یه‌ كه‌ i سێوی له‌ناودایه‌،یاخود گه‌رهاتوو پیاسه‌یه‌كت به‌ سه‌یاره‌كه‌ت كرد و i كاتژمێرت پێچوو، یان ئه‌ژماری بانكیه‌كه‌ت بڕی i پاوه‌ند زیاتری لێبرابوو، به‌لام سیسته‌می ژماره‌ ئاوێته‌كان بووته‌ شتێكی پێویست كه‌ بیركاریزانه‌كان ناتوانن ده‌ستبه‌رداری ببن، هه‌روه‌ها زاناكان و ئه‌ندازیاره‌كانیش – تیۆری كوانته‌م میكانیك بۆ نموونه‌، زۆر به‌ قورسی پشت به‌ ژماره‌ ئاوێته‌كان ده‌به‌ستێت. كه‌ باشترین ڕونكردنه‌وه‌ به‌ پره‌نسیپه‌ گشتیه‌كه‌ی ده‌به‌خشتێت : گه‌رهاتوو بونیادێكی  ته‌جریدی بیركاری به‌شێوه‌یه‌كی گونجاوی سروشتی بوو، ئه‌وا بێ دوو دڵی به‌ به‌یه‌قینه‌وه‌ كه‌ ئه‌و بونیاده‌ ئه‌بستراكته‌ بیركاریه‌ ده‌كرێت سودی لێوه‌ربگیریت وه‌كو مۆدیلیك له‌ داهاتوودا.

یه‌كه‌م تێڕوانین بۆ ناكۆتا

كاتێك كه‌ كه‌سێك فێرده‌بێت به‌ شێوازێكی ئه‌بستراكیانه‌ بیربكاته‌وه‌، ئه‌وا ده‌بێته‌ مایه‌ی ڕه‌حه‌تی بۆ ئه‌و كه‌سه‌، كه‌مێكیش له‌و هه‌سته‌ ده‌چێت كه‌ كاتێك فێری لێخورینی پاسكیل ده‌بیت بێئه‌وه‌ی زۆر بیر له‌وه‌ بكه‌یته‌وه‌ به‌شێوه‌یه‌كی ئۆتۆماتیكی هاوسه‌نگی خۆت له‌سه‌ر پایسكیله‌كه‌ ده‌پارێزیت و ناكه‌ویت به هیچ ‌لایه‌كدا. هه‌رچۆنێك بێت، من نامه‌وێت ئه‌و چاپگه‌ریه‌ له‌سه‌رت به‌جێبهێلێم كه‌ میتۆدی ئه‌بستراكت وه‌كو سكه‌ی لێدانی دراو وایه‌ كه‌ سه‌رجه‌م كێشه‌كانت بۆ چاره‌سه‌ر ده‌كات. به‌لام شتێكی سه‌رنجڕاكێش ده‌بێت گه‌ر هاتوو به‌هه‌مان میكانیزمی داخڵكردنی i بۆ ناو سیسته‌می ژماره‌كان بێیت و بته‌وێت ناكۆتا بخه‌یته‌ ناو سیسته‌می ژماره‌كانه‌وه‌. له‌سه‌ره‌تادا وا پێده‌چێت كه‌ هیچ شتێك نیه‌ ڕامانبگرێت له‌وه‌ی كارێكی وابكه‌ین( ناساندنی ناكۆتا): ناكۆتا ده‌بێت شتێكه‌ كه‌ له‌ ئه‌نجامی دابه‌شكردنی 1 به‌سه‌ر 0 دا دروست ده‌بێت، كه‌واته‌ \infty كه‌  هێمایه‌ بۆ ناكۆتا ناكرێت بڵێین ده‌بێته‌ شیكار بۆ هاوكێشه‌یه‌كی وه‌كو  0\times x=1 ؟

كێشه‌ی پشت ئه‌م بۆچۆنه‌ی سه‌ره‌وه‌ ئه‌وه‌یه‌ كه‌ گه‌ر ئه‌وه‌ی سه‌ره‌وه‌مان قبوڵ بوو ئه‌وا هه‌ر زوو تۆشی سه‌رئێشه‌مان ده‌كات له‌ناو كایه‌ی ئه‌ریسماتیك، بۆ نموونه‌، ده‌كرێت له‌ڕێگه‌ی ده‌رئه‌نجامێكی ساده‌ی یاسای یه‌كتربه‌ستن بۆ لێكدان له‌گه‌ل M2، هه‌روه‌ها ئه‌و ڕاستیه‌یه‌ی‌ كه‌ ده‌ڵێت 2\times 0=0

. ئه‌مه‌ی خواره‌ومان چنگ ده‌كه‌وێت:-

1= \infty \times 0= \infty \times (0 \times 2)=(\infty \times 0)\times2=1 \times 2=2

ئه‌مه‌ی سه‌ره‌وه‌ پێمانده‌ڵێت كه‌ گه‌رهاتوو ووتمان هاوكێشه‌ی 0\times x=1 شیكاری هه‌یه‌ ئه‌وا ده‌بێته‌ هۆی دروستبوونی ناگونجاوی(inconsistency) له‌ ناو سیسته‌مه‌ی ژماره‌كان كه‌ ئه‌مه‌یش هه‌موو بیركاریزانه‌كان خۆیانی لێبه‌دوورده‌گرن وه‌ هیچ بیركاریزانێك نادۆزیته‌وه‌ كه‌ كار به‌ سیسته‌مێكی ناگونجا بكات. به‌لام ئایا ئه‌مه‌ مانای ئه‌وه‌یه‌ كه‌ ناكۆتا بوونی نیه‌؟ نه‌خێر، زۆر به‌ ساده‌یی ئه‌مه‌ پێمانده‌ڵێت كه‌ بیرۆكه‌ی ناكۆتا له‌گه‌ل ئه‌و یاسایانه‌ی ناو ئه‌ریسماتیك  كه‌ باسمانكردووه‌ ناگونجێت. دیاره‌ هه‌ندێك جار سودی خۆی هه‌یه‌ گه‌ر هاتوو بێین و سیسته‌می ژماره‌ ڕاستیه‌كان فراوانتربكه‌ین تاوه‌كو ناكۆتایش له‌ خۆ بگرێت، وه‌ ده‌بێت ئه‌وه‌یش قبوڵبكه‌یت كه‌له‌ناو ئه‌و سیسته‌مه‌ فراوانه‌ ئه‌م یاسایانه‌ی كه‌ باسمانكردوون له‌م به‌شه‌ مه‌رج نیه‌ ‌ هه‌مووجارێك ڕاست ده‌ربچن. وه‌ به‌شێوه‌یه‌كی ئاسایی، هه‌رچۆنێك بێت پێمانباشتره‌ كه‌ ناكۆتا بكه‌ینه‌ ده‌ره‌وه‌ی سیسته‌مه‌كه‌ تاوه‌كو بتوانین ده‌ست به‌و یاسایانه‌وه‌ بگرین كه‌ پێشتر باسمان كردووه‌.

ژماره‌یه‌ك كه‌ توانی سالب یاخود كه‌رتی بۆ به‌رزكرابێته‌وه‌

یه‌كێك له‌گه‌وره‌ترین چاكه‌كانی میتۆدی ئه‌بستراكت له‌گه‌لماندا ئه‌وه‌یه‌ كه‌ ڕێگامان  بۆ خۆشده‌كات تاوه‌كو مانا ببه‌خشین به‌ هه‌ندێك كۆنسێپت له‌ جێگایه‌ك كه‌ پێی نائاشنایین. ده‌سته‌واژه‌ی “ مانا ببه‌خشێته‌” زۆر گونجاوه بۆ ئێره‌‌، چونكه‌ ئه‌مه‌ ئه‌و شته‌یه‌ كه‌ ڕێك ئێمه‌ ئه‌نجاممانداوه‌، زیاتر له‌وه‌ی بچین شتێك بدۆزینه‌وه‌ كه‌ پێشتر مانای هه‌بووبێت. نموونه‌یه‌كی بچووك له‌سه‌ر ئه‌مه‌ بریتیه‌ له‌ فراوانكردنی بیرۆكه‌ی به‌رزكردنه‌ی توانێك بۆ ژماره‌یه‌ك.

گه‌ر هاتوو n ژماره‌یه‌كی ته‌واوی موجه‌ب بوو ئه‌وا a^n یانی ده‌كاته‌ ئه‌نجامی لێكدان a له‌ خۆی n جار. بۆ نموونه‌ 125=5\times 5 \times 5=5^3 وه‌ 2\times 2\times 2\times 2\times 2=2^5. به‌لام بۆ ئه‌م جۆره‌ پێناسه‌یه‌ ئاسان نیه‌ كه‌ پێمانبڵێت ده‌سته‌واژه‌یه‌كی وه‌كو 2^{\frac{3}{2}} یانی چی، له‌به‌ر ئه‌وه‌ی تۆ ناتوانیت كه‌ 2 ته‌نها 1.5 جار له‌ خۆی بده‌یته‌وه‌. باشه‌ ڕێگای ئه‌بستراكت كامه‌یه‌ بۆ مامه‌ڵه‌كردن له‌گه‌ل ئه‌م دۆخه‌دا؟ دووباره‌، ئێمه‌ نامانه‌وێت بچین له مانای ناوه‌ڕۆكی شته‌كه‌ بگه‌ین – كه‌ دیاره‌ له‌م حاڵه‌ته‌دا ده‌سته‌واژه‌یه‌كی وه‌كو  a^n– به‌لام مه‌به‌ستمانه‌ بیر له‌یاساكان بكه‌ینه‌وه‌.

دوو یاسای سه‌ره‌تایی سه‌باره‌ت به‌ به‌رزكردنه‌وه‌ی توان بۆ ژماره‌یه‌ك به‌م جۆره‌ی خواره‌وه‌یه‌:

. a بۆ هه‌موو ژماره‌یه‌كی راستی وه‌كو  a^1=a   E1

E2     a^n \times a^m=a^{n+m} بۆ هه‌موو ژماره‌یه‌كی ڕاستی وه‌كو n,m.

 بۆ نموونه‌، 2^5= 2^2 \times 2^3 چونكه‌ 2^5 یانی 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 هه‌روه‌ها  2^{3} \times 2^{2} یانی (2\times 2 \times 2)\times (2 \times 2)

. ئه‌مانه‌ هه‌موویان هه‌مان ژماره‌ن چونكه‌ كرداری لێكدان خاسیه‌تی یه‌كته‌ربه‌ستنه‌وه‌ی هه‌یه‌. له‌م دوو خاسیه‌ته‌وه‌ ده‌توانین زۆر به‌خێرایی ئه‌و راستیه‌ به‌ده‌ستبهێنین كه‌ a^2=a^{(1+1)} وه‌ له‌ له‌ڕێگای E2 ده‌كاته‌ a^{1} \times a^{1} . وه‌ به‌پشتبه‌ستن به‌ E1   ده‌زانین كه‌ ئه‌مه‌ ده‌كاته‌ a\times a ، وه‌كو ئه‌وه‌ی كه‌ هه‌یه‌. به‌لام ئێمه‌ ئێستا له‌و جێگایه‌دا نین كه‌ بتوانین هه‌نگاوی له‌مه‌ زیاتر بهاوێژین. با ناو له‌  2^{\frac{3}{2}} بنیێین و بڵێین ده‌كاته x . كه‌واته‌ x \times x=2^{\frac{3}{2}}\times 2^{\frac{3}{2}} كه‌ دیاریشه‌ به‌به‌كارهێنانی E2, ده‌كاته‌ 2^{\frac{3}{2}+\frac{3}{2}}=2^{3}=8 . به‌مانایه‌كی تر  x^{2}=8  كه‌ دیاره‌ ئه‌مه‌ به‌ته‌واوه‌تی پێمان ناڵێت كه‌ ئایا x بۆ خۆیی چیه‌، چونكه‌ 8 دوو ڕه‌گی دووجای هه‌یه‌، كه‌واته‌ باشتره‌ بێیین و ئه‌م خاسیه‌ته‌ی خواره‌وه زیادبكه‌ین.

E3 گه‌ر هاتوو a>0 وه‌ b ژماره‌یه‌كی راستی بوو، ئه‌وا a^b ژماره‌یه‌كی مه‌جه‌ب ده‌رده‌چێت.

به‌به‌كارهێنانی E3 له‌گه‌ل ئه‌وه‌ی پێشتووتر ده‌ستمانكه‌وتووه‌ ده‌گه‌ینه‌ ئه‌و ئه‌نجامه‌ی كه  2^{\frac{3}{2}}  ده‌كاته‌ ڕه‌گه دووجاكه‌‌ موجه‌به‌كه‌ی 8.

دیاره‌ ئه‌مه‌ له‌ حه‌قیقه‌یدا دۆزینه‌وه‌ی نرخی راسته‌قینه‌ی ژماره‌ \displaystyle 2^{\frac{3}{2}} نیه‌. به‌هه‌رحاڵ، پێدانی نرخ به‌ 2^{\frac{3}{2}} شتێكی ئیختیاری نیه‌  به‌مانایه‌كی تر شتێكی له‌مه‌ باشترمان پێنیه‌ بۆی به‌و مه‌رجه‌ی بتوانین ده‌ست به‌ یاساكانی E3,E2,E1 وه‌ بگرین.

ئه‌رگیومێنتێكی هاوشێوه‌ی ئه‌وه‌ی باسمانكرد ده‌كرێت سودی لێوه‌ربگیرێت بۆ دۆزینه‌وه‌ی نرخی a^0 ، به‌ومه‌رجه‌ی كه‌ a سفر نه‌بێت. به‌هۆییی E1 وه‌ E2 ‌وه‌ ئێمه‌ ده‌زانین كه a=a^1=a^{1+0}=a^{1} \times a^{0} = a \times a^{0} دواتر له‌رێگای یاسای لابردن M5 ده‌زانین كه‌ a^0=1  بۆ هه‌ر ژماره‌یه‌كی وه‌كو a  .

ئێستا كاتی ئه‌وه‌یه‌ له‌سه‌ر توانی سالبیش قسه‌ بكه‌ین، گه‌ر زانیمان نرخی a^b چه‌نده‌، ئه‌و كاته‌ 1=a^0=a^b+a^{-b}=a^{b} \times a^{-b} ، له‌مه‌یشه‌وه‌ ده‌گه‌ینه‌ ئه‌و ئه‌نجامه‌ی كه‌ a^{-b}=\frac {1}{a^b} . ژماره‌یه‌كی وه‌كو  2^{(-3/2)} بۆ نموونه‌ ، ده‌كاته‌ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{8}} .

بیرۆكه‌یه‌كی تر كه‌ زۆر ئاسان ده‌بێت كاتێك له‌ڕووی ئه‌بستراكته‌وه‌ مامه‌ڵه‌ی له‌گه‌ڵدا ده‌كرێت ئه‌ویش بریتیه‌ له‌ لۆگاریتم. من له‌م كتێبه‌ ناتوانم له‌سه‌ر لۆگاریتم زۆر بدوێم، به‌لام گه‌ر هاتوو  لۆگاریتم زۆر ناڕه‌حه‌تی كردوویت ئه‌وا ده‌كرێت دڵنیاتبكه‌مه‌وه‌ له‌وه‌ی كه‌ بۆ حالیبوون لێی ته‌نها پێیوستت به‌به‌كارهێنانی ئه‌م سێ یاسایه‌ی خواره‌وه‌ هه‌یه‌ به‌شێوه‌یه‌كی یه‌كله‌دوایه‌ك. ( گه‌ر ویستت كه‌ بنچینه‌ی لۆگاریتم  e بێت له‌ جیاتی 10 ، ئه‌وا ته‌نها پێویست به‌وه‌ ده‌كات له‌ E1 له‌ شوێنی 10 ژماره‌ی  e دابنێیت).

 L1 لۆگاریتمی ده‌ ده‌كاته‌ 1  واته‌ \log{10}=1

L2 بۆ هه‌ر ژماره‌یه‌كی ڕاستی وه‌كو x,y هه‌میشه‌ \log{xy}=\log{x}+\log{y} .

L3 گه‌ر هاتوو x<y ئه‌وا \log{x}<\log{y} .

بۆ نموونه‌ بۆ ئه‌وه‌ی پیشانیبده‌ین كه‌ چۆن \log{30} بچوكتره‌ له‌ {3}{2} تێبینی ئه‌وه‌ بكه‌ \log{1000}=\log{10}+\log{100}=\log{10}+\log{10}+\log{10}=3 له‌ڕێگه‌ی هه‌ردوو یاسای L1 هه‌روه‌ها L2 . به‌لام   2\log{30}=\log{30}+\log{30}=\log{900}

ئه‌مه‌ به‌هۆی L2 وه‌وه‌ ڕویدا، وه‌ \log{900}<\log{1000}  به‌پێی L3 . كه‌واته‌,  2\log{30}<3 ئێستا \log{30}<\frac{3}{2} .

له‌به‌شه‌كانی تر باس له‌ زۆر كۆنسێپتی دیكه‌ ده‌كه‌م كه‌ سروشتی هاوشێوه‌ی ئه‌وانه‌ی‌  هه‌یه‌ كه‌ له‌سه‌ریان دوواوم. ئه‌مانه‌ تۆشی حه‌په‌سانت ده‌كات گه‌ر ویستت به‌ شێوه‌یه‌كی كۆنكرێتیانه‌ لێیی بڕوانیت، به‌لام سحری خۆیان بزرده‌كه‌ن گه‌ر هاتوو پاڵی لێبده‌یته‌وه‌ وه‌ واز له‌وه‌ بهێنیت كه‌ خه‌م له‌  ماهییه‌تیان بخۆیت‌، دواتریش له‌ڕێگه‌ی میتۆدی ئه‌بستراكته‌وه‌ هه‌وڵی حالیبوونیان بده‌یت.

Advertisements

وەڵامێک بنووسە

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / گۆڕین )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / گۆڕین )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / گۆڕین )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / گۆڕین )

Connecting to %s