کاشیکاری، به‌شی دووهه‌م

ئاماده‌كردنی دكتۆر حوسێن جه‌وهه‌ری ( دكتۆراه‌ له‌ ئه‌لگۆریزم)

له درێژه‌ی باسه‌که‌مان ده‌ڕوانینه نموونه‌یه‌کی تر له پرسی کاشیکاری. لێره‌دا، ده‌مانه‌وێ بسه‌لمێنین که خشته‌یه‌کی 10 له 10 به کۆمه‌ڵێک لاکێشه‌ی 1 له 4 پڕ ناکرێته‌وه. ئه‌گه‌ر هاوشێوه‌ی پرسیاری پێشوو، خشته‌ 10 له 10 که وه‌ک ته‌خته‌یه‌کی شه‌تره‌نج بیبینین و بمانه‌وێ له‌م ڕێگایه‌وه ناکۆکییه‌کی لۆجیکی له کاشیکارییه‌که‌دا بدۆزینه‌وه، ئه‌م فێڵه‌ سه‌رکه‌وتوو نابێت چونکه لاکێشه‌ 1 له 4 کان هه‌ر چۆن له‌سه‌ر ته‌خته‌ شه‌تره‌نجه‌که دایانبنێی )به شێوه‌ی ستوونی یا ئاسۆیی(، به ژماری یه‌کسان خانه‌ی ڕه‌ش و سپی داده‌پۆشن و هیچ شتێکمان بۆ ناسه‌لمێندرێت. بۆ چاره‌سه‌ری ئه‌م کێشه‌یه، ئه‌مجار خشته 10 له 10 که به شێوه‌یه‌کی جیاواز، واته به چوار ڕه‌نگ بۆیاخی ده‌که‌ین که له وێنه‌ی خواره‌وه‌دا نیشان دراوه.

chess4color4

به سه‌رنجێکی سه‌ره‌تایی بۆمان ده‌رده‌که‌وێ هه‌ر لاکێشه‌یه‌ک دوو جۆر ڕه‌نگ داده‌پۆشێ و له هه‌ر ڕه‌نگێک دوو خانه. ئه‌مه به‌م مانایه‌یه‌ که ژماری خانه‌کانی هه‌ر ڕه‌نگێک ده‌بێ ڕه‌قه‌مێکی جووت بێ به‌ڵام ناشێت ئه‌مه ڕاست بێت چونکه له هه‌ر ڕه‌‌نگێک ئێمه 25 خانه‌مان هه‌یه. که‌واته کاشیکاری ئه‌م خشته‌یه به لاکێشه‌ی 1 له 4 ناکۆکییه‌کی لۆژیکی ده‌هێنێته پێشه‌وه و ئه‌وه ده‌سه‌لمێنێ که ئه‌م کاشیکارییه‌ بوونی نییه.

chess4color

به گشتی سه‌لماندنی ئه‌وه‌یکه ڕووبه‌رێک به جۆره کاشییه‌کی تایبه‌ت پڕناکرێته‌وه کارێکی ئاسان نییه به‌ڵام کاتێک کاشیی به‌رباس دۆمینه‌یه‌کی 2 له 1 بێت، ئه‌م پرسیاره وه‌ڵامێکی زانراوی هه‌یه. بۆ نموونه بڕواننه شكڵی خواره‌وه که بریتییه له 16 خانه‌ی ڕه‌ش و 16 خانه‌ی سپی )خانه سووره‌که‌ی ناوه‌ڕاست به‌تاڵه و به‌ژمار نایه(. ده‌کرێ به تاقیکردنه‌وه‌ی هه‌موو حاڵه‌ته‌کان، بسه‌لمێندرێ که ئه‌م ڕووبه‌ره به دۆمینه‌ی 2 له 1 پڕ ناکرێته‌وه. به‌ڵام ئاخۆ ده‌کرێ له ڕێگایه‌کی ساده‌تر و ڕاسته‌وخۆتر ئه‌م ڕاستییه بسه‌لمێنین؟

halltheorem

ڕێگایه‌ک به‌م شێوه‌یه‌. شه‌ش خانه‌ی ڕه‌شی لای سه‌ره‌وه‌ی به خاڵی ڕه‌ش نیشان ده‌که‌ین )وه‌ک شکڵی خواره‌وه( و پێنج خانه‌ی پاڵیان به ئه‌ستێره * نیشان ده‌که‌ین. دیاره بۆ داپۆشینی شه‌ش خانه‌ ڕه‌‌شه‌که‌، ده‌بێ شه‌ش دۆمینه به‌کار بێنین و ئه‌مه بێ ئه‌وه‌ی له لێواری ڕووبه‌ره‌که تێپه‌ڕبین جێبه‌جێ ناکرێ. له‌م باره‌وه بیرکارێک به ناوی فیلیپ هاڵ سه‌لماندوویه‌تی هه‌ر ڕووبه‌رێک که به دۆمینه دوو له یه‌ک پڕناکرێته‌وه ناوچه‌یه‌کی به‌و شێوه‌ی تێدایه. واته هه‌میشه ناوچه‌یه‌ک بریتی له k خانه‌ی ڕه‌ش که که‌متر له k خانه هاوسای هه‌بێ به دۆمینه پڕ ناکرێته‌وه.

halltheorem2
سه‌لمێندراوه‌که‌ی فیلیپ هاڵ له‌مه گشتیتره و به سه‌لمێندراوی هاوسه‌رگیری له بیردۆزی گرافدا ناسراوه. ئه‌گه‌ر خانه‌ ڕه‌شه‌کان پیاو بن و خانه سپییه‌کان ژن بن، پڕکردنه‌وه‌ی ڕووبه‌ره‌که به دۆمینه‌ی 2 له 1 هاوتایه له‌گه‌ڵ هاوسه‌ر په‌یدا کردن بۆ ژن و پیاوه‌کان بێ ئه‌وه‌ی که‌س ته‌نیا بمێنێته‌وه و هه‌ر که‌سیش له‌گه‌ڵ جیرانی خۆی هاوسه‌رگیری بکا.

ده‌توانین نموونه پرسیاری زۆر به‌‌م شێوه‌یه دابڕێژین و به سوودوه‌رگرتن له ته‌کنیکی ڕه‌نگکاری وه‌ڵامیان بده‌ینه‌وه به‌ڵام هه‌ندێک پرسیاری له‌م شێوه هه‌ن که به ڕه‌نگکاری وه‌ڵام نادرێنه‌وه. بۆ نموونه، ئه‌گه‌ر ئێمه T(n) پێناسه بکه‌ین به n(n+1)/2  ده‌سته شه‌شگۆشه‌ی ڕێک به شێوه‌ی خواره‌وه، ئایا ئه‌توانین T(n) به کۆمه‌ڵێک T(2) کاشی بکه‌ین یا نا. وه‌ڵامی ئه‌م پرسیاره بۆ T(9) ئه‌رێ و شکڵی خواره‌وه ئه‌م ڕاستییه‌ ده‌سه‌لمێنێت.

t1

t9

به‌ڵام T(5) یا T(3) به T(2) کاشی ناکرێت. سه‌لمێندراوه که ئه‌م پرسیاره وێڕای ساده‌یی و هاوشێوه‌بوونی له‌گه‌ڵ پرسیارگه‌لی پێشوو، به ته‌کنیکی ڕه‌نگکاری وه‌ڵام نادرێته‌وه و پێویست به ته‌کنیکێکی جیاواز هه‌یه. له‌ ڕاستی دا بیرکارێک به ناوی کانوه‌ی ئه‌م پرسیاره‌ی به سوودوه‌رگرتن له ته‌کنیکی جه‌بری و به‌ تایبه‌ت بیردۆزی گرووپی نائابێلی وه‌ڵام داوه‌ته‌وه.

ژماری کاشیکارییه‌کانی جیاواز
کاتێک زانیمان ڕووبه‌رێک به جۆره کاشییه‌ک پڕ ده‌کرێته‌وه، ده‌کرێ بپرسین ئه‌م ڕووبه‌ره به چه‌ند شێوه‌ی جیاواز پڕ ده‌کرێته‌وه. به‌داخه‌وه وه‌ڵامی ئه‌م جۆره پرسیارانه ئاسان نییه و ئێمه لێره ته‌نیا به کورتی ئاماژه به نموونه‌یه‌ک ده‌که‌ین. دیامۆندی ئازته‌ک، Aztec Diamond له ده‌ره‌جه‌ی n واته AZ(n) به که‌ڵه‌که‌ کردنی ڕیزه خانووی 2 و 4 و … 2n و … 4 و 2 به‌ده‌ست دێت. وه‌ک شکڵی خواره‌وه.

aztec

ئێمه ده‌زانین که ئازته‌کی ده‌ره‌جه دوو به 8 شێوه جیاواز بۆ کاشی دۆمینه پڕ ده‌کرێته‌وه.
چوار بیرکار به ناوی Elkies, Kuperberg, Larsen and Propp، سه‌لماندوویانه که AZ(n) به 2^{n(n+1)/2} شێوه‌ی جیاواز به دۆمینه‌ی 2 له 1 کاشی ده‌کرێت.

سه‌رچاوه:

Feredrico Ardila, Richard Stanley. Tilings. Based on a Clay Public Lecture by the second author at the IAS/Park City Mathematics Institute in July, 2004.

Advertisements

وەڵامێک بنووسە

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / گۆڕین )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / گۆڕین )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / گۆڕین )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / گۆڕین )

Connecting to %s