ژماره‌ی p-adic چیه‌؟

كۆمه‌ڵه‌ی \mathbb{Q}_p بریتیه‌ له‌ ته‌واوكردنێكی فه‌زای ژماره‌ ڕێژه‌ییه‌كان \mathbb{Q}  كاتێك ئه‌م ته‌واوكردنه‌ ده‌ستئاوێزه‌ به‌جۆرێكی تایبه‌ت له‌ نه‌خشه‌یه‌كی مه‌تری (metric function ) كه‌ به‌م جۆره‌ |.|_p هێما ده‌كرێت.

ژماره‌ ڕاستیه‌كان \mathbb{R} جۆرێكی تایبه‌ت و ستانداره‌ له‌ ته‌واوكردنی ژماره‌ ڕێژه‌ییه‌كان، به‌لام ئه‌م جۆره‌ی تری ته‌واكردنی ژماره‌ ڕێژه‌یه‌كان  \mathbb{Q}  زۆر جیاوازه‌ لێی. نه‌ك هه‌رئه‌وه‌نده‌ به‌ڵكو بۆ هه‌ریه‌ك له‌ ژماره‌ی خۆبه‌شی وه‌كو p ئێمه‌ ته‌واكردنێكی  \mathbb{Q}_p ته‌واو جیاوازمان هه‌یه‌.

فه‌زای ته‌واو ( Complete Space) یانی چی؟

باشتره‌ باسێك له‌وه‌ بكه‌م كه‌ ئاخۆ مه‌به‌ستم چیه‌ له‌وه‌ی \mathbb{Q} ته‌واو نیه‌، فه‌زای \left({\mathbb{Q}, \tau_d}\right) ته‌واو نیه‌ كه‌ ئه‌مه‌ كۆمه‌له‌ی ژماره‌ ڕێژه‌ییه‌كانه له‌گه‌ل نه‌خشه‌ی میتری ئیقلیدیه‌ن( ئه‌مه‌ هه‌ر ئه‌و نیزامی مه‌تریه‌ كه‌ له‌ دونیادا ئیشی پێده‌كه‌ین).
به‌ فه‌زایه‌ك ده‌وترێت ته‌واو گه‌ر هاتوو هه‌ر یه‌كبه‌دواییه‌كێكی كۆشی (Cauchy sequence) نزیك بێته‌وه‌ (converge) له‌ ژماره‌یه‌ك له‌ناو فه‌زاكه‌ خۆی. بۆ نموونه‌ یه‌كبه‌دواییه‌كی  \{1/n\}_{n\in \mathbb{Q}} كۆشیه‌ وه‌ له‌ سفر نزیك ده‌بێته‌وه‌ وه‌ وه‌كو ده‌یشزانین سفر ژماره‌یه‌كی ڕێژه‌ییه‌، به‌لام گه‌ر سه‌رنج له‌م یه‌كبه‌دوای \{a_n\}  بده‌یت كاتێك a_n=\dfrac{f_{n+1}}{f_{n}} كه‌ \{f_n\} یه‌كبده‌واییه‌كی كۆشیه‌،  وه‌ ئه‌م یه‌كبه‌دوای یه‌كه‌ ئامانجی هه‌یه‌ یاخود له‌ ژماره‌یه‌ك نزیك ده‌بێته‌وه‌ به‌م جۆره‌:

\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \phi := \frac{1 + \sqrt 5} 2

به‌لام دیاره‌ ژماره‌كه‌ی لای ڕاست ڕێژه‌یی نیه‌. كه‌واته‌ فه‌زای ژماره‌ ڕێژه‌ییه‌كان فه‌زایه‌كی ته‌واو نیه‌. بۆیه‌ ده‌كرێت هه‌وڵی ته‌واوكردنی بدرێت، یه‌كێك له‌ جۆره‌كانی ته‌واكردنی فه‌زای ژماره‌ ڕاستیه‌كانی \mathbb{R} لێدروست ده‌بێت.
به‌لام به‌دڵنیایه‌وه‌ هیتریش بوونی هه‌یه‌ وه‌كو لێڕه‌دا ئاماژه‌ی بۆ ده‌كه‌ین. سه‌ره‌تا ده‌بێت هه‌ڵبستین به‌ پێناسه‌كردنی نۆرمی |.|_p بۆ هه‌ر ژماره‌یه‌كی ڕێژه‌یی وه‌كو p. گه‌ر هاتوو q=\frac{r}{s} ژماره‌یه‌كی ڕێژه‌یی ناسفر بوو ئه‌وا ئه‌م ژماره‌یه‌ ملكه‌چی جۆرێك له‌ شیته‌ڵكردنیێكی تاقه‌نه‌یی ده‌بێت به‌شێوه‌ی:

q=\pm p^{n} p_{1}^{n_1} p_{2}^{n_2} \dots p_{m}^{n_m}=p^{n}\frac{u}{v}

كاتێك هه‌ریه‌كه‌ له‌ p,p_k ژماره‌ی خۆبه‌شن و  وه‌ توانه‌كانیشیان موجه‌ب یاخود سالبه‌ كه‌ دیاره‌ به‌گشتی ئیعتیماد ده‌كاته‌ سه‌ر توانه‌كانی خواره‌وه‌ ( ژێره‌)؛ وه‌ u,v هه‌ر یه‌كێكیان به‌گوێره‌ی ژماره‌ی p ده‌بێت خۆبه‌ش بن واته‌ گه‌وره‌ترین كۆلكه‌ی هاوبه‌شی نێوانیان ده‌كاته‌ بكاته‌ 1 (بۆ نموونه‌ 4,9 خۆبه‌شن به‌گوێره‌ی یه‌كتر).

كاتی ئه‌وه‌ هاتووه‌ بزانین چۆن پێناسه‌ی ژماره‌یه‌ك بكه‌ین له‌م فه‌زا نوێیه‌دا.

پێناسه‌

|q|_{p}=p^{n}

كاتێك n ده‌كاته‌ توانی p له‌و شیته‌ڵكردنه‌ی كه‌له‌سه‌ره‌وه‌دا ئاماژه‌مان پێدا. به‌ به‌شێوه‌یه‌كی جوودا دێین و پێناسه‌كه‌ ده‌كه‌ین بۆ سفر به‌م جۆره‌:-

|0|_{p}=0

بۆ باشتر له‌مه‌ حالیبوون نموونه‌یه‌ك وه‌رده‌گرین،

|\frac{1001}{1000} - 1|_{2} = |\frac{1}{1000}|_{2} = |2^{-3}{5^{-3}}|_2=8

ئه‌م نموونه‌ی سه‌ره‌وه‌ پێمانده‌ڵێت كه‌ هه‌ردوو ژماره‌ی \frac{1001}{1000} وه‌ 1 پێكه‌وه‌ ناكه‌ونه‌ ناوی \mathbb{Q}_2. وه‌ له‌ \mathbb{Q}_5 زۆر له‌مه‌ی سه‌ره‌وه‌ خراپتریشه‌ چونكه‌ |\frac{1001}{1000}-1|_{5} = 125. وه‌ گه‌ریش تێبینی بكه‌یت ئه‌وا بۆ هه‌ر ژماره‌یه‌كی ته‌واوی n وه‌ خۆبه‌شی وه‌كو p هه‌میشه‌ |n|_{p} \le 1 .

نه‌خشه‌ی |.|_p سێ خاسیه‌تی گرنگی هه‌یه‌ كه‌ ده‌یكاته‌ نۆرم. خه‌سیه‌ته‌كانیشی بریتیه‌ له‌:-

  1. |u|_p=0 گه‌ر هاتوو u=0.
  2. |uv|_p=|u|_p |v|p بۆ هه‌ر دوو ژماره‌یه‌كی ڕێژه‌یی وه‌كو u,v.
  3. هه‌میشه‌ |u+v|_p\le |u|_{p} + |v|_p بۆ هه‌موو ژماره‌یه‌كی ڕێژه‌یی وه‌كو u,v.

وه‌ ده‌شكرێت لاسه‌نگه‌ سێگۆشه‌ییه‌كه‌ (triangle inequality) له‌ خاسیه‌تی سێهه‌مدا كورتبكرێته‌وه‌ بۆ

|u+v|_{p}\le max\{|u|_{p},|v|_{p}\} بۆ هه‌رژماره‌یه‌كی ڕێژه‌یی وه‌كو u,v.

هه‌ڵبه‌ت مه‌رجی له‌وه‌ به‌هێزتریش ڕاسته‌ بۆ نه‌خشه‌كه‌ی له‌سه‌ره‌وه‌ باسمانكردووه‌ بۆ نموونه‌:-

|u|_p \ne |v|_p, |u+v|_p= max\{|u|_p,|v|_p\} بۆ هه‌ر ژماره‌یه‌كی ڕێژه‌یی وه‌كو u,v.

سه‌رچاوه‌:-

  1. https://proofwiki.org/wiki/Definition:Complete_Metric_Space
  2. https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number

 

Advertisements

وەڵامێک بنووسە

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / گۆڕین )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / گۆڕین )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / گۆڕین )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / گۆڕین )

Connecting to %s