سەلمێنراوی نێوانە بەهاییەکان

یه‌كێك له‌ بیردۆزه‌ گرنگه‌كانی ناو بیركاری شیته‌لكاری پێی ده‌وترێت سەلمێنراوی نێوانە بەهاییەکان (Intermediate value theorem)  كه‌ بۆ ئاسانی زۆرجار كورتكراوه‌ی IVT بۆ به‌كارده‌هێنرێت. كه‌ ئه‌مه‌ ده‌قی بیردۆزیه‌كه‌یه‌:

گه‌ر هاتوو نه‌خشه‌یه‌كی وه‌كو f مان هه‌بوو كه‌ به‌رده‌وامبوو له‌ ماوه‌ی داخراوی [a,b] وه‌ گه‌ر هاتوو ژماره‌یه‌كی وه‌كو c به‌ده‌ستكه‌وت كه‌ نرخه‌كه‌ی له‌نێوان هه‌ر دوو نرخی    f(a) و f(b) بوو ئه‌وا ژماره‌یه‌كی وه‌كو d بوونی ده‌بێت له‌ناو ماوه‌ی داخراوی [a,b] به‌جۆرێك f(d)=c.

قوتابی زانكۆ سه‌ره‌تا ئه‌م بیردۆزه‌ له‌ وانه‌ی كالكوله‌س یاخود باشتره‌ بڵێم Calc 1  ( سالی یه‌كه‌م-كۆرسی یه‌كه‌م) ده‌خوێنیت، دواتر دووباره‌ به‌ قووڵی  قوتابی به‌شه‌كانی بیركاری یان هه‌ندێك جار قوتابی به‌شی ئامار له‌ وانه‌ی بیركاری شیته‌ڵكاری (Mathematical Analysis) ئه‌م ده‌رسه‌ ده‌خوێنێت له‌ قۆناغی سێهه‌م.

با بۆ چه‌ند ساتێك واز له‌ ره‌سمیات و ئه‌و پێناسه‌یه‌ی سه‌ره‌وه‌ بهێنین و محاوه‌له‌ بكه‌ین ئه‌م بیردۆزه‌ به‌شێوه‌ی حه‌ده‌سی حالیببین. واته‌ هه‌وڵ بده‌ین كه‌ بتوانین به‌ ئاسانی بۆ هه‌موو كه‌سی روون بكه‌ینه‌وه‌. ئه‌م جۆره‌ بیركردنه‌وه‌یه‌ بۆ تێگه‌یشتن له‌ بابه‌ت زه‌رووره‌ به‌لام بۆ ئه‌وه‌ی تێگه‌یشتنێكی تۆكمه‌و قوڵت بۆ بابه‌ته‌كه‌ هه‌بێت ده‌بیت دواتر بگه‌ریته‌وه‌ بۆ پێناسه‌كه‌ی سه‌ره‌وه‌…

screenshot-2016-09-19-17-38-27

بیردۆزه‌كه‌ ده‌ڵێت:

گه‌ر نه‌خشه‌یه‌كی به‌رده‌وامت هه‌بێت له‌ماوه‌ی  [0,2] واته‌ كاتێك نه‌خشه‌كه‌ له‌ f(0) بۆ f(2) ده‌كێشیت ئه‌وا نابێت هیچ ده‌ستت له‌سه‌ر ئه‌و لاپه‌ڕه‌یه‌ هه‌ڵبگریت كه‌ وێنه‌كه‌ی له‌سه‌ر ده‌كه‌یت، واته‌ نابێت وێنه‌كه‌ هیچ بازدانێك، چاڵێكی تیادا بیت. به‌م جۆره‌ نه‌خشه‌كه‌ به‌رده‌وام ده‌بیت، ئێستا سه‌یری نرخ f(0) وه‌ نرخی f(2) بكه‌، بۆ نموونه‌ له‌و گرافی نه‌خشه‌یه‌ی كه‌ ئێمه‌ هه‌مانه‌ f(0)<f(2). ئه‌وا به‌ گوێره‌ی  سەلمێنراوی نێوانە بەهاییەکان وه‌ چونكی   ژماره‌ 3 له‌ نێوان f(0) وه‌ f(2) دایه‌ واته‌ f(0)<3<f(2) ئه‌وا ده‌بیت ژماره‌یه‌كمان هه‌بێت له‌ نێوان [0,2] كه‌ نرخی نه‌خشه‌ی ئه‌و ژماره‌یه‌ بكاته‌ 3, دیاره‌ له‌ نموونه‌كه‌ی ناو وێنه‌كه‌ ژماره‌كه‌ ده‌كاته‌ 1, به‌مانایه‌كی تر f(1)=3.

نموونه‌یه‌كی جێبه‌جێكاری IVT

گریمان دوو نه‌خشه‌مان هه‌یه‌ ئه‌وانیش f(x)=x^2 له‌گه‌ل g(x)=x^3 وا ده‌مانه‌وێت پیشانی بده‌ین كه‌ ئه‌م دوو نه‌خشه‌یه‌ له‌نێوان 1 وه‌ 3 له‌ جیگایه‌كدا یه‌كتری ده‌بڕن. واته‌ له‌و خاڵه‌دا هه‌ردوو نه‌خشه‌كه‌ هه‌مان نرخیان هه‌یه‌. پرسیاره‌كه‌ ئه‌وه‌یه‌ ئایا ئه‌و خاڵه‌ كامه‌یه‌؟ یاخود پرسیارێكی ئاسانتر كه‌ ده‌ڵێت پیشانی بده‌ ئه‌م دوو نه‌خشه‌یه‌ یه‌كتری ده‌بڕن له‌ جێگایه‌كدا ( كه‌ دیاره‌ مه‌به‌ستی پۆسته‌كه‌ی ئێمه‌ ئه‌مه‌یانه‌ زیاتر)؟

ڕێگا زۆره‌ بۆ دۆزنیه‌وه‌ی خاڵی یه‌كتربڕینه‌كه‌ له‌ ماوه‌ی [1,3]. یه‌كێك له‌و ڕێگایانه‌ ده‌توانیت گرافی( وێنه‌ی) هه‌ردوو نه‌خشه‌كه‌ بكه‌یت و خاڵه‌كه‌ ده‌ستنیشان بكه‌یت( ئه‌مه‌یان زۆر ده‌قیق ده‌رناچێت! بزانم ده‌زانیت بۆچی؟). ڕێگای  دووهه‌م جه‌بریه‌؛ كه‌ هه‌ڵده‌ستین به‌ یه‌كسانكردنی هه‌ردوو نه‌خشه‌كه‌ به‌یه‌كتری و دواتر هاوكێشه‌یه‌كمان ده‌ستده‌كه‌ویت كه‌ ده‌كاته‌:

x^2-x^3=0

دواتریش شیكاری ئه‌م هاوكێشه‌یه‌ ده‌دۆزینه‌وه‌ وه‌ كام نرخه‌ی x له‌نێوان 1 و 3 دا بوو ئه‌وه‌ ده‌بیته‌ وه‌ڵامی پرسیاره‌كه‌.

رێگای سیهه‌م كه‌ مه‌به‌ستی سه‌ره‌كی ئه‌م پۆسته‌یه‌ میتۆدێك وه‌رده‌گرین كه‌ پشت به‌ كالكوله‌س ده‌به‌ستێت، وه‌ زۆر به‌ تایبه‌تیش پشت به‌ بیردۆزی IVT ده‌به‌ستیت، به‌م جۆره‌ی خواره‌وه‌:

نه‌خشه‌یه‌كی نوێ دروست ده‌كه‌ین به‌ناوی k(x) كه‌ ده‌كاته‌ جیاوازی نێوان دوو نه‌خشه‌كه‌ی سه‌ره‌وه‌ واته‌

k(x)=f(x)-g(x) ، به‌مجۆره‌ k(x)=x^2-x^3 . سه‌ره‌تا له‌ یاسا بنه‌ڕه‌تیه‌كانی به‌رده‌وامیه‌وه‌ ده‌زانین كه‌ نه‌خشه‌ی  k(x) به‌رده‌وامه‌. چونكه‌ هه‌میشه‌ كۆی یاخود جیاوازی نێوان دوو نه‌خشه‌ی به‌رده‌وامه‌ دووباره‌ به‌رده‌وام ده‌بیت ( بزانم ده‌زانیت بۆچی نه‌خشه‌كان f(x) وه‌ g(x) بۆچی به‌رده‌وامن؟). وه‌ پێویستیمان به‌دۆزینه‌وه‌ی نرخی نه‌خشه‌ نوێیه‌كه‌مان هه‌یه‌ له‌ هه‌ردوو خاڵی 1 وه‌ 3 دا. به‌م جۆره‌

k(1)=2 \times 1^2- 1^3=2-1=1

k(3)=2 \times 3^2- 3^3=18-27=-9

 به‌م جۆره؛ k(1) \times k(3)=1 \times -9=-9

واته‌ ماده‌م نه‌خشه‌ی k(x) به‌رده‌وامه‌ وه‌  k(1) \times k(3) <0 ئه‌وا به‌ گوێره‌ی بیردۆزی نرخی ناوه‌ند  خاڵێكی وه‌كو c مان هه‌یه‌ له‌نێوان [1,3] دا كه‌ k(c)=0  ( تێبینی ئه‌وه‌ بكه‌ كه‌ سفر ده‌كه‌وێته‌ نێوان ماوه‌ی داخراوی [-9,1].

به‌م جۆره‌ k(c)=f(c)-g(c)=0   واته‌  f(c)=g(c) كه‌ دیاره‌ ئه‌مه‌یش داواكراوه‌كه‌ بوو!

تێبینی ئه‌وه‌ بكه‌، كه‌ بیردۆزی IVT پێمان ناڵێت كه‌ ئاخۆ ئه‌و خاڵه‌ كامه‌یه‌، وه‌ هه‌ڵبه‌ت دۆزینه‌وه‌ی زۆرجار موسته‌حیله‌! به‌ڵام رێگاو ته‌كنیك زۆره‌ بۆ دۆزینه‌وه‌ی ئه‌و ژماره‌یه‌ به‌نزیكراوه‌یه‌یی ( بۆ نموونه‌ ده‌توانین سوود له‌ میتۆدی نیوه‌تن وه‌ربگرین بۆ دۆزینه‌وه‌ی ئه‌و نرخه‌، كه‌ قوتابی به‌شه‌كانی بیركاری له‌ قۆناغی سێهه‌م له‌ وانه‌ی شیته‌ڵكاری ژماره‌یی (Numerical Analysis ) ده‌یخوێنین وه‌ دیاریشه‌ كۆمپیوته‌ر ئه‌م ڕێگا ته‌قریبیه‌ به‌كارده‌هێنیت.

شاخی گۆیژه‌
شاخی گۆیژه‌

نموونه‌یه‌كی سه‌رنج ڕاكێش

كابرایه‌ك هه‌موو ڕۆژانی هه‌ینی له‌ بناری شاخی گۆیژه‌وه‌ سه‌عات 8 به‌یانی به‌پێ سه‌ركه‌وێت وه‌ كاتژمێر 10 به‌یانی ده‌گاته‌ سه‌ر لوتكه‌ی چیاكه‌، شه‌و له‌سه‌ر چیاكه‌ ده‌مینیته‌وه‌، و به‌یانی به‌ هه‌مان شێوه‌ له‌ كاتژمێر 8 به‌یانی ده‌ست به‌هاتنه‌خواره‌وه‌ ده‌كات و سه‌عات 10 به‌یانی ده‌گاته‌ بناری گۆیژه‌ ( هه‌مان ئه‌و شوێنه‌ی كه‌ ڕۆژی پێشووتر كه‌ له‌ كاتژمێر 8 ده‌ستی به‌ جووله‌ كردبوو).  هه‌ڵبه‌ت هه‌ردوو ڕۆژه‌كه‌ هه‌مان ڕێره‌وی گرتووه‌ته‌ به‌ر، واته‌ ڕێگای سه‌ركه‌وتن و هاتنه‌ خواره‌وه‌ هه‌ر یه‌كه‌.

پرسیاره‌كه‌ ده‌ڵێت:

پیشانی بده‌، كه‌ جێگایه‌ك هه‌یه‌ له‌و ڕێره‌وی سه‌ركه‌وتن و دابه‌زینه‌دا كه‌ ئه‌و پیاوه‌ هه‌ردوو ڕۆژه‌كه‌ له‌ هه‌مان كاتدا له‌و جێگایه‌ بووه‌!

بۆ نموونه‌: له‌وانه‌یه‌ له‌سه‌عات ٩:٤٠ له‌ هه‌ردوو ڕۆژه‌كه‌دا له‌ ناوه‌ڕاستی شاخه‌كه‌دا بیت ( هه‌مان جێگه‌).

شیكاركردن:

سه‌ره‌تا هه‌وڵئه‌ده‌ین دوو نه‌خشه‌ دروست بكه‌ین، یه‌كێكیان بۆ سه‌ركه‌وتن و ئه‌وه‌ی دیكه‌یان بۆ دابه‌زین، بواری نه‌خشه‌كه‌ ده‌بیت كات ( دوو كاتژمێر، یاخود باشتره‌ بڵێین 120 خوله‌ك). وه‌ بواری به‌رامبه‌ر ده‌بیته‌ به‌رزی شاخه‌كه‌، واته‌ بۆ هه‌ر خوله‌كیكی دیاریكراو، ئه‌و كابرایه‌ له‌ به‌رزاییه‌كی دیاریكراودایه‌ وه‌ واداده‌نین كه‌ به‌رزی شاخی گۆیژه‌ 2000 مه‌تره‌ ( هه‌ڵبه‌ت هیچ سه‌رچاوه‌یه‌كم له‌به‌ر ده‌ست نیه‌ و ته‌نها ته‌خمینه‌). بۆ سه‌ركه‌وتن نه‌خشه‌كه‌ ناو ده‌نین f(x) بۆ هاتنه‌خواره‌وه‌ g(x). وه‌ گه‌ر بناری شاخی گۆیژه‌ به‌ A دابنین ( كه‌ به‌رزیه‌كه‌ی سفره‌)  وه‌ خاڵی B به‌ لوتكه دابنین ئه‌وا به‌رزیه‌كه‌ ده‌كاته‌ 2000. به‌م جۆره‌ نرخی دوو نه‌خشه‌كه له‌م دوو جێگایه‌ ده‌دۆزینه‌وه‌ به‌م شێوه‌یه‌:

f(0)=0,g(0)=2000,f(120)=2000,g(120)=0

به‌هه‌مان شێوه‌ی پرسیاره‌كه‌ی پێشووتر نه‌خشه‌یه‌كی تر دروست ده‌كه‌ین به‌ناوی h(x) به‌م جۆره‌ h(x)=f(x)-g(x). كه‌ دیاریشه‌  h(0)=-2000,h(120)=2000. له‌ كۆتاییدا گه‌ر ئه‌م دوو نرخه‌ جارانی یه‌كتر بكه‌ین ئه‌وا نیشانه‌ی ئه‌نجامه‌كه‌ سالب ده‌بیت.

h(0) \times h(120)=-4000000<0

به‌م جۆره‌ كاتێكی c  بوونی هه‌یه‌  كه‌ تیاییدا h(c)=0 كه‌ دیاره‌ ئه‌مه‌ بۆیه‌ راسته‌ چونكه‌ هه‌موو مه‌رجه‌كانی بیردۆزی IVT ته‌حقیق بوو. به‌م شێوه‌یه‌ f(c)=g(c) به‌مانایه‌كی دیكه‌، له‌ خوله‌كه‌ی c دا له‌ هه‌ردوو ڕۆژه‌كه‌دا كابراكه‌ له‌هه‌مان جێگا ( به‌رزی) شاخی گۆیژه‌دایه‌.

گه‌ر له‌م شه‌رحه‌ی سه‌ره‌وه‌ر باش حالینه‌بوویت، هیوادارم له‌م وێنه‌ی خواره‌وه‌ سوود وه‌ربگریت.

screenshot-2016-09-18-23-29-34

سه‌رنج:

  1. هه‌ڵبه‌ت من گریمانه‌ی ئه‌وه‌مكردووه‌ كه‌ بناری شاخی گۆیژه‌ به‌رزیه‌كه‌ی سفره‌ كه‌ هه‌ڵبه‌ت وانیه‌، به‌س ئه‌مه‌ هیچ له‌مه‌سه‌له‌كه‌ ناگۆڕێت، واته‌ هه‌رچه‌ندیك بێت هه‌ر هه‌مان ئه‌نجاممان ده‌ستده‌كه‌ویت.
  2. له‌وانه‌یه‌ كابرا هه‌ندێك جار به‌ كه‌یفی خۆی ئیسراحه‌ت بكات، به‌لام هه‌میشه‌ به‌ دوو سه‌عات ڕێگاكه‌ ده‌بڕێت، واته‌ هه‌ندێك جار زۆر خێرا ده‌ڕوات وه‌ هه‌ندێك جاری تر زۆر خاو ده‌ڕوات.

سه‌رچاوه‌:

  1. wikipedia
  2. Stewart, James. Essential Calculus: Early Transcendentals with Enhanced Web Assign. Edition: 2nd. Publisher،
Advertisements

2 thoughts on “سەلمێنراوی نێوانە بەهاییەکان

  1. دەست خۆش.دوێنى کە پرسیارەکەم خوێندەوە کەمێک خۆمم پێوە خەریک کرد بەو شێوەى خوارەوە
    (پرسیارێکى فکرى هەیە ئەلێت(دوو گوند هەبوو,لە نێوان ئەو دوو گوندە ڕێگایەکى ١٠٠ مەترى هەبوو,لەبەر ئەوەى ئەو دوو گوندە قسەیان نەبوو,بۆیە کەسێک کە پاسەوان بوو لە ناوەراستى ڕێگاى دوو گوندەکە هەبوو کە نەیدەهێشت خەلکى هیچ کەسێک لە گوندە بپەرێتەوە گوندەکەى تر,کابراى پاسەوان هەمیشە دەخەوت,بەلام کە بەخەبەر دەهات کاتێک کەسێک ٣ مەتر لێى نزیک بکەوتباوە,بۆیە هەرکەسێک کە دەویست بپەرێتەوە گوندەکەى تر ئەوەى کە ٣ مەتر لە پاسەوانەکە نزید دەبۆوە,کاکى پاسەوان بەخەبەر دەهات و نەیدەهێشت بپەرێتەوە.بەلام کەسێک فزول و ئاقل رۆژێک کە نزیکى دوورى سێ مەتر لە پاسەوانەکە بۆوە,پێش ئەوەى پاسەوان بەخەبەر بێت کابراکە رووى خۆى وەرگێراو,واتە رووى کردەوە گوندەکەى خۆى,کابراى پاسەوانیش وتى مادام رووى عەکسى منەو ئەروات,واتە لەو گووندە پەریوەتەوە,بۆیە پشتى ملى گرت و وتى وەرە بۆ کوێ ئەورۆى,دەى بگەرێوە گوندەکەى خۆت.منیش فکرەى پرسیارەکە لەو پرسیارە دەردێنم,واتە ڕێرەوى هاتنە خوا بە چەند کردارێکى بیرکارى ئێکس تەیشنى دەکەم بۆ ڕێرەوى سەرکەوتن.لە پرسیارەکە جولە هەیە,واتە نەخشەیەک هەیە f.لە پرسیارەکە خاڵى دەستپێک و خالى کۆتایى هەیە.واتە دەبێت نەخشەکەمان لە ماوەیەکى دیاریکراو پێناس کراو بێت.گریمان نەخشەیەکى ترمان هەیە g,نەخشەى f لە خاڵى دەسپێک سەردەکەوێت و نەخشەى g لە خاڵى کۆتایى دێتە خوار,بۆیە کە بە پێچەوانەى ئاراستەى یەک دێن لە خالێک و لە کاتێکى دیاریکراو بەیەک دەگەن! هم لێرە پرسیارێک دێتە پێش,ئەگەر سەرکەوتنەکە بە شێوەیەکى راست بێت ,واتە ئەگەر بۆ نمونە وێنەکە y=x بێت(مەبەست رووى شاخە بەو شێوە ڕاست بێت) ئەوجە دەکرێت بەو شێوە بیربکەینەوە.بۆیە ئەو فکرەى سەرەوە فەشلى هێنا(شتى تریش هەن کە لەسەر ئەو فکرەیە بیلیم بەلام ئەوەندە بەسە,چونکە لێرە گریمان دەکەین رووى شاخەکە شێوەى راستەهێل نییە,واتە بەرزو نزمى تێدایە),چونکە بەو فکرەیە زیاتر زیاتر لە جێگەیەک دەۆزیتەوە لە رێرەوى سەرکەوتن و ڕێرەوى دەبەزین کە لەو دوو رۆژە لەهەمان کات لەهەمان جێگا بۆوە).با بیمەوە سەر ئەو پرسیارەى سەوە(دوو گوندەکە).دیسانەوە گریمان ئەو کەسەى لە ڕێرەوى سەرکەوت دایە f بێت و ئەو کەسەى لە رێرەوى دابەزین دایە g بێت(دەبێت g لە هەمان ماوەى f پێناس کرابێت,چونکە یەک ڕێرەوە).من وێنە دانەوەى نەخشەکە f وەردەگرم,گریمان وێنە دانەوەیە بە تەوەرى y.(لە ماتلاب کۆماندێک هەیە بە ناوى fliplr و flipud,یەکێان فێکتەر رووى فێکتەر وەردەگێرێت,واتە ئەکەرماترێکسى [1 2 3;4 5 6;7 8 9] هەبێت ئەوە ئەگەر فرمانى fliplr بەکاربێنم ئەوە ماتریکسەکە بەو شێوە لێ دەکات [3 2 1;6 5 4;9 8 7] ئەگەر فرمانى flipud بەکاربینم ئەوە شێونى ستونەکەى خوارەوە ئەباتە سەرەوە,وە ئى سەرەوەش ئەباتە خوارەوە.(نازانم ئەو شتە لە کەلکوس هەیە یان نا,بۆ نەخشە بەکاردێت یان نا)بۆیە من ئەو دوو فرمانە بەکار دێنم بۆ نەخشەى .f ) من زیاتر هەوڵدا ئیش لەسەر گراف بکەم,بەڵام لەبەر ئەوەى بەرزى شاخەکەم نەدەزانى نەمدەزانى چ بکەم چۆن گریمانە بکەم.
    بەڵام شتەکان بەرەو ئالۆزى رۆیشتن و وازم لێ هیناو بەتەمابووم ئەو شەو زیاتر بیرى لێبکمەوە بەڵام زوو وەڵامەکەتان پۆست کرد 🙂
    بۆیە هەولەکەى خۆشم دانا چونکە مامۆستا شێرکۆ لە یەکێک لە نووسینەکانى باسى ۆیلەرى کردوو کە ۆیلەر ئەو هەولانەشى بڵاو دەکردەوە کە سەرى نەدەگرت 🙂
    بەهەرحاڵ دەستان خۆش بێت هەم لە بیرکردنەوەکەى خۆم هەم لەو پۆستە شتى زۆر نوێ فێربووم.

    Liked by 1 person

وەڵامێک بنووسە

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / گۆڕین )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / گۆڕین )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / گۆڕین )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / گۆڕین )

Connecting to %s