ئوریکا: هاواری ئەرکەمیدس

نوسینی: شێرکۆ ڕەشید قادر

”نوقتەیەکم بدەرێ لەسەری ڕابوەستم لەگەڵ نوێڵێک، ئەوا عەردت بۆ دەجوڵێنم” ئەرکەمیدس.

archimedes-10

هەمومان ناوی ئەستێرەی مەزنی یۆنانی کۆن، ئەرکەمیدسمان بیستوە، بە تایبەت لە قۆناغی ناوەندی خوێندندا، کاتێک باس لە کێش و چڕی ئاو و مادە دەکرێت. یاخود باس لە قوچەک و لولە و ڕوبەر و قەبارەی گۆ و بازنە دەکرێت.  بلیمەتیی ئەم ماتماتیکناسە گەورەیە هێندە بەرزە، بە جۆرێک هەندێک دەڵێن ئەگەر لە هەر یەک لە نیوتن و گاوسی ئەڵمانی پایەبەرزتر نەبێت، ئەوا بێ هیچ گومانێک، ئەم سێ زانا مەزنە، زۆر بە باشی لە زمانی ماتماتیکی یەکتر تێدەگەن و حاڵی دەبن[i].هەر بۆیەش دەبینین لەخۆڕا نیە کە نیوتن گوتویەتی ” ئەگەر من شتێک زیاترم زانیبێت، ئەوە هۆکەی دەگەڕێتەوە بۆ ئەوەی چونکە پاڵم داوە بە شان مەزنانەوە”، بێ هیچ گومانێک، ئەوا مەبەستی بلیمەتانی وەک ئەرکەمیدس بوە. یاخود کاتێک گالیلۆ گوتویەتی ” ئەگەر ئەرکەمیدس نەبوایە من هیچم نەدەزانی[ii].”

وەک زۆربەی فەیلەسوفان و ماتماتیکناسانی یۆنانی زانیارییەکی زۆر دەگمەن و کەم لەمەڕ ژیانی هەیە، تەنانەت ئەوەندەی زانیاری سەبارەت بە مەرگی هەیە ئەوەندە دەربارەی ژیانەکەی نییە. چونکە مردنەکەی گەلێک تراژیدییانە بو، مێژونوسان بە شەهیدی ماتماتیک ناوی دەبەن. وەک پلۆتارک، مێژونوسی دیاری یۆنانەکان، لە کتێبەکەیدا ”ژیانە تەریبەکان”دا، باسی دەکات، لە ساڵی 212ی پێشزاییندا، کاتی هێرشی دڕندانەی ڕۆمەکان بۆ سەر سیراکەسی شارەکەی ئەرکەمیدس، مارسێلەس، سەرکردەی ڕۆمەکان، چونکە ناوبانگی بلیمەتی ئەم ماتماتیکناس و ئەندازیارە گەورەیەی یۆنانی بیستبو، فەرمانیدا بە لەشکرەکەی کە ئەگەر هەر سەربازێک گەیشتە ماڵی ئەرکەمیدس، بە هیچ جۆرێک بۆی نیە ئازاری بدات یان بیکوژێت، بەڵکو دەمەوێت بە ڕێزەوە سڵاوی لێ بکەم. بەڵام کاتێک، یەکێک لە سەربازەکان دەگاتە کەنار دەریا، پیرەمێردێک دەبینێت لەسەر لمەکەی کەنار دەریا خەریکی هێڵکاری جیۆمەتری و سەرقاڵی بیرکردنەوەیە و لەبەر ئەم سەربازە داگیرکەرە هەڵناسێت و لەسەر ئەژنۆ لە ئاستیدا بنەوێتەوە. سەربازەکە، شیرەکەی هەڵدەکێشێت و دەڵێت: نازانیت من چیم و کێم؟ بۆ هەلناسیتە سەر پێ؟. ئەرکەمیدس لە وەڵامدا دەڵێت: من لە خەڵوەتی ماتماتیکیدام و خەریکی حلکردنی پرسی جیۆمەتریم. سەربازەکە کەللەیی دەبێت و نازانێت کێیە و هەرگیز بیر لە ئەرکەمیدس ناکاتەوە، شیرەکەی لە ئەرکەمیدس دەوەشێنێت و یەکسەر دەیکوژێت.

کە فەرماندە و لەشکرەکە دەگەنە کەنار دەریاکە و کاتێک مارسیلەس دەبیستێت ئەرکەمیدس کوژراوە، یەکسەر هەر لەوێدا سەربازەکە بە پیاوکوژ لەقەڵەمدەدات و بە بێ وەستان دەیکوژێتەوە. مارسێلەس، ڕودەکاتە ماڵی خانەوادەی ئەرکەمیدس، فەرماندەدا کە مەراسیمێک رێک بخرێت کە شایستەی بلیمەتیی ئەم ماتماتیکناسە مەزنە بێت و پرسەیەکی ناوازەی بۆ دابنرێت. مارسیلەس پلەی شەرەفی بە ئەرکەمیدس بەخشی و فەرمانیدا لەسەر گۆڕەکەی وەک نەمرییەک و ڕێزێک لە وەسیەتەکەی خۆی نیگاری لولەکێک(سلیندەر) و گۆیەک لە نێویدا بێت هەڵکەنرێت[iii].

archimedes-11

ئەرکەمیدس لە ساڵی 287 ی پێشزایین لە سیراکەس، سەر بە دەڤەری سیسیلیا لەدایکبوە، بێگومان سیسیلیا ئێستا یەکێکە لە هەرێمە گەورەکانی ئیتالیا، بەڵام لە ڕۆژگاری خۆیدا شارە – دەوڵەتێکی یۆنانی بوە و زمانی فەرمیش هەر یۆنانی بوە. لە ڕوی ئابوری، بازرگانی و ڕۆشنبیرییەوە شارێک بوە ململانێی لەگەڵ ئەسکەندەرییە کردوە.

بابی ئەرکەمیدس، هەم ماتماتیکناس و هەم فەلەکناس بوە، هەندێک سەرچاوە ئیشارە بەوە دەکەن کە خزمایەتییان لەگەڵ شای سیراکەس هیرۆندا هەبوە.

ئەرکەمیدس هێندە هزرمەندێکی ڕەسەن بوە، هێندە خەیاڵبافێکی قوڵ بوە، هێندە ماتماتیکناسێکی وردبین بوە کە دەڵێن گەلێک جاران هۆشی لە دەوروبەرەکەی نەبوە کە چ خەبەرە، بە تایبەت کاتێک چوەتە خەڵوەتی ماتماتیکییەوە، تەنانەت کە لە بانو خۆی شۆردوە و بە ڕۆنی زەیتون بەدەنی خۆی چەور کردوە، هیچ هۆشی لە خۆشتن نەماوە و هەمو سەر ڕانی خۆی بە ژمارە و حساب پڕ کردوەتەوە. ئەمە جگە لەوەی زۆر کەڕەت لە بۆنە و هاتنی میواناندا، یاخود کە چوەتە میوانداری، هەرگیز خەیاڵی لای کەس نەماوە و تەنانەت خواردنەکەشی فەرامۆشکردوە، چلکەیەکی بە دەستەوە گرتوە و خۆی سەرقاڵکردوە بە کێشانی هێڵ و شێوەی جیۆمەتری لەسەر عەردەکە، هەتا هاتون و بردویانەتە سەر خوان و کەوتۆتە نانخواردن. ئەمە جگە لەوەی پیاوێکی هەمیشە تەنیا بوە، هەرچەندە دو هاوڕێی هەبوە، بەلام زۆربەی کات ئالودەی گۆشەگیری بوە. لەگەڵ ئەوەش کە تەنها بوە، هەمیشە ئەوین و عاشقی ماتماتیک بوە، گەڕان لە دوی پەنهانییەکانی ماتماتیکدا ئامانجی عیشقەکەی بوە، هەوەک خۆی گوتویەتی،” ماتماتیک نهێنییەکانی خۆی بۆ کەسانێک ئاواڵا دەکات کە بە عیشقێکی پوختەوە و بۆ جوانییەکەی وەدوی دەکەون.”

لەو سەردەمەدا هەمو فەیلەسوفان و ماتماتیکناسان بۆ خوێندن یاخود وانەبێژی ڕویان لە ئەسکەندەرییە دەکرد، ئەو شارەی ئەسکەندەری مەکدۆنی (356 – 323) بۆ خۆی دروستیکرد و ویستی بیکاتە پایتەختی ئیمپراتۆرەکەی، بەلام خەونەکەی زۆر زوو ئاوابو، چونکە لە ساڵی 323 ی پێشزاییندا و لە تەمەنی 33 ساڵیدا بە نەخۆشی مرد. لە دوای مەراسیمی ناشتنی، ژەنەراڵەکانی ئیمپراتۆرەکەیان لە نێو خۆیاندا بەشکرد، میسر کەوتە ژێر دەسەلاتی پەتلیمۆس. گەورەترین مۆزەخانە و کتێبخانە لە جیهاندا لەم شارەدا بنیاتنرا، وەک نیمچە – زانکۆیەکی ئەم عەسرە ڕۆڵی خۆی بینیوە، بە دەیان بەشی زانستی لەخۆگرتبو بۆ مەبەستی توێژینەوە، هەر لە فەلەک، ماتماتیک، بایۆلۆژی و فەلسەفە و هەتا دەگاتە پرسەکانی لاهوت. بەمجۆرە بوە گەورەترین و سەرنجڕاکێشترین ناوەندی فێربون لە دونیای کۆندا، تەنانەت پێشی ئەسیناشی دابو، زۆربەی سەرچاوەکان ئیشارە بەوە دەدەن کە نزیکەی شەش سەد هەزار (600000) دەسنوس، بەرهەمی زانستی و بابەتی تر لەم کتێبخانەیەدا هەبوە. نەتەوەی جیاواز، هەر لە فارس، عەرب، جولەکە و یۆنانی ڕویان لەم شارە کردوە، تەنانەت وشەی کۆسمۆپۆلیتان(واتە فرە – نەتەوەیی) لێرە سەری هەڵداوە. بەڕیوەبەران و ئوستادانی ئەم نیمچە زانکۆیە، لە هەرە نایابترین پسپۆران و ئەقڵەکانی ئەو ڕۆژگارەی یۆنان بون، بۆ نمونە ئەکلیدس، ماتماتیکناس و جیۆمەترناسی مەزن، لێرە شاکارە هەرە بەناوباگەکەی، ”بنەماکان”ی، نوسی. بنەماکان، زۆربەی هەرە زۆری ماتماتیکی یۆنان، هەر لە سەدەی شەشی پێشزایین، واتە لە ڕۆژانی تالیس و فیساگۆرسەوە هەتا سێ سەد ساڵی داهاتو لەخۆدەگرێت، جگە لەوەی هەمو بنچینەکانی جیۆمەتری ئەکلیدس، هەر لە دراو، ئەکسیۆم هەتا دەگاتە سەلماندنەکان لێرەدا تۆمار کراون. ئەم شاکارە سیازدە بەرگییە، هەتا سەرەتای سەدەی بیستەم بە یەکێک لەو سەرچاوە سەرەکییە ماتماتیکی و جیۆمەترییانە دەزانرێت کە نزیکەی هەزار جار چاپکراوە و لەنێوەندە کلتوری و ئاینییەکان و بنکەکانی خوێندندا شانبەشانی کتێبی پیرۆزی مەسیحان خوێندراوە.

ئەکلیدس، لەم کتێبەدا، بێگومان جگە لە بەرهەمی ماتماتیکناسانی پێش خۆی، بنەماکانی جیۆمەتری ئەکلیدسی دارشتوە، ئەو جیۆمەترییەی هەتا سەدەی نۆزدە بە بێ تەحەدا لە هەمو ناوەندەکانی خوێندن لە ئەوروپا دەخوێندرا. سەرەتا بە پێناسەکردنی بڕێک لە چەمکە ماتماتیکییە ساکارەکان دەست پێدەکات، ئەو چەمکانەی کە بە خۆڕون Self-evident  ناودەبرێن و خۆڕسکانە پێویست بە سەلماندن ناکەن، وەکو مانای خاڵ چییە؟ پاشان دێتە سەر هێڵ و پێناسی دەکات و سیفاتەکانی شەرح دەکات. لای ئەکلیدس خاڵ پێگەی هەیە بەڵام بڕ نیە، هێڵ بریتیە لە درێژییەک بێ بڕانەوە، ڕاستە هێڵ بریتیە لە کورترین دوری لە نێوان دو خاڵدا. پاشان لەمانەوە ڕودەکاتە سەلماندنی تیۆرییەکان، لە زمانی ماتماتیکدا کە تیۆری سەلمێنرا دەبێتە تیۆرم، واتە چیتر لە هەمبەر ڕاستێتی تیۆرییەکە مشومڕ ناکرێت. بەمجۆرە دەتوانرێت تیۆرم بخرێتەگەڕ بۆ سەلماندنی تیۆری تر، واتە سیستەمێکی لۆژیکی تۆکمە بنیات دەنرێت کە بە هیچ کلۆجێک هەڵە قبوڵ ناکات، هەرچەندە بەر لە ئەکلیدس، سەلماندنی ماتماتیکی لە ئارادا هەبوە، بەڵام زۆربەی مێژونوسانی ماتماتیک کۆکن لەسەر ئەوەی کە ئەکلیدس بە بابی راستەقینەی سەلماندن دەزانرێت بەو فۆرمە لۆژیکیە هاوچەرخەی ئەمڕۆ بەکاردێت. گەلێک لاپەڕەی بنەماکان تەرخانکراوە بۆ خوێندنی تیۆری ژمارە و سیفاتەکانی ژمارە، وەکو ژمارە خۆبەشەکان، ژمارە ناڕێژەییەکان و ژمارە کەماڵەکان Perfect Numbers . ئەرکەمیدس لە هەردوک بوارەکەدا، هەم ژمارەناسی و هەم جیۆمەتریدا پسپۆڕ بو.

archimedes-12

ئەرکەمیدس، وەک گەلێک لاوی تر، بۆ خوێندن و فێربون هات بۆ ئەسکەندەریە. بێگومان کاتێک گەیشتە ئەسکەندریە، زانستی ماتماتیک لە پلەیەکی بەرزدا بو. هەر زو ئاشنایەتی لەگەڵ دو ماتماتیکناسدا پەیداکرد، یەکێکیان کۆنونی ساموسی (280 – 220  پێشزایین) بو، کە دور نییە، ئەرکەمیدس لەم ماتماتیکناسەوە ئاشنایەتی لەگەڵ سیستەمی چەقە خۆری ئەریستاکەسی سامۆسیدا پەیدا کردبێت. کۆنون هەم فەلەکناس و هەم ماتماتیکناس بوە. ماتماتیکناسی دوەم، کە ئەرکەمیدس ئاشنایەتی لەگەڵ دروستکردوە، کەڵە فەلەکناس و ماتماتیکناس، ئیراتۆسنیس Eratosthenes ( 276 – 194 پێشزایین) بوە، کە لەو سەردەمەدا بەڕێوەبەری کتێبخانەکەی ئەسکەندەریە بو. ئەم بلیمەتە لە خۆیدا، جۆرێک لە ئنسایکلۆپیدیا بوە، چونکە هێندە لە زانستەکاندا پسپۆڕ بوە و کتێبی لەمەڕ هەمو بەشێک نوسیوە، هەر لە جوگرافیا، مێژو، دەریاوانی، نەخشە، جیۆمەتری، کۆمەڵناسی، فەلەک و کەشناسی. یەکەم کەسە لە مێژودا خشتەیەکی بۆ بەرواری ڕوداوەکانی مێژوی چەند سەدە لەوەبەری یۆنانی کەتەلۆگ کردوە، نەخشەی ناوچەی دەریای ناوەڕاستی کردوە، ناوی خێڵەکانی زۆر لەدەڤەرەکانی تۆمار کردوە و پۆلێنی کردون، بۆ نمونە هەتا ئێستاش لە یەمەن ناوی چەند خێڵێک بەکار دێن کە هەمان ئەو ناوانەن کە ئیراتۆسنێس پۆلێنی کردون. لە هەمو ئەمانە گرنگتر و گەورەتر ئەوەیە کە چێوەی عەردی بە تەرزێک دۆزیوەتەوە کە هەتا ئێستاش مایەی سەرسوڕمانە، لە ڕاستیدا ئەو فکرەیەی ئەم بلیمەتە بۆ ئەم مەبەستە خستویەگەڕ هەتا بڵێیت نەک هەر پایەبەرزی ئەقڵی ئیراتۆسنێس نمایش دەکات، بەڵکو ترۆپکی شارستانیەتی یۆنانی دەردەخات، بە هەقەت ڕاستە و لەخۆڕا نییە کە مێژونوسی گەورەی ماتماتیک ئی.تی.بێڵ لە کتێبی ” پیاوانی ماتماتیک” دا لەمەڕ یۆنانیەکان دەڵێت: ئەمانە ئەقڵێکی هاوچەرخ بون لە بەدەنێکی کۆندا[iv].

کە لە میسر نشتەجێ دەبێت، ئەرکەمیدس ئامێرێکی زۆر سودمەند و پراکتیکی بۆ جوتیارانی ناوچەی نیل دروست دەکات. ئەم ئامرازە کە بە برغوەکەی ئەرکەمیدس یان پەمپی حەلزونی ناسراوە، لە بواری ئاودێریدا ئاسانکاری بۆ خەڵکەکە دەکات، چونکە ئاوی لە شوێنە نزمەکانەوە بەرز دەکردەوە بۆ شوێنە بەرزەکان و ئاوی کێڵگەکانیان پێدەدا. ئەوەی مایەی سەرنجراکێشانە، هەتا ئێستاش ئەم داهێنانە جوانە لە لایەن هەندێک ناوچەی میسرەوە لە ئارادایە و خەڵک سودی لێ وەردەگرن. دروستکردنی ئەم ئامێرە سروشتی گەورەیی بەهرەی پراکتیکی و دەستڕەنگینی ئەرکەمیدس دەخاتەڕو.

سەرباری ئەوەی کە ئەسکەندەریە ناوەندێکی گەورەی نمونەیی زانستی و فکری بو بۆ پەرەپێدانی بلیمەتی ئەقڵیی ئەرکەمیدس، بەڵام بڕیار دەدات کە بگەڕێتەوە بۆ نێو خاکوخۆڵی زێدی خۆی. ئەرکەمیدس هەتا کۆتایی ژیانی هەر لە سیراکەس دەژی، بەڵام هەمیشە ئاڵوگۆری نامەی لەگەڵ هاوڕییانی ئەسکەندەریەدا هەبوە و ئاگاداری یەکتربون. تەنانەت زۆربەی جاران لە نامەکانیدا تیۆرمە ماتماتیکییە نوێکانی خۆی بۆ هاوڕێکانی باسدەکات و سەلماندنەکانیان بۆ دەنێرێت، بەڵام هەندێکیان دەچون ئەم تیۆرمانەیان دەکردە موڵکی خۆیان، بێ ئەوەی ئاماژە بە ئەرکەمیدس بدەن، لە ناو زانایاندا بڵاویان دەکردەوە، کاتێک ئەم هەقیقەتانەی بۆ دەرکەوت، ئیتر کەوتە ئەوەی کە تیۆرمی هەڵە و سەلماندنی هەڵەی بۆ دەناردن بۆ ئەوەی دوچاری سەرئێشە و ناڕەحەتی ببن.

ئوریکا

ئەرکەمیدس دۆستایەتیەکی نزیکی لەگەڵ شای سیراکەس هەبوە، جگە لەوەی وەک دەڵێن خزمایەتیان هەبوە، بەڵام هەمیشە وەک دو هاوڕێی نزیک تێکەڵ بون و هەمیشە هاموشۆی شای کردوە، هەروەها پێدەچێت کە دەرسی تایبەتی بە هیرۆن گوتبێت و لە گەلێک کاری سیاسی ڕۆژانەدا ڕاوێژکاری بوە. کاتێک شا هیرۆنی دوەم یەکێک لە زەڕەنگەرە دەستڕەنگینەکانی مەملەکەتەکەی بانگ دەکات و داوای لێدەکات تاجێکی بۆ دروست بکات کە تەنها ئاڵتونی پوخت بێت و هیچ کانزایەکی تری تێکەڵ نەکات. دوای ماوەیەک، کاتێک زەڕەنگەرەکە تاجە ئاڵتونیە نوێکە دەهێنێتەوە بۆ شا هێرۆنی دوەم، شا هیرۆن گومان دەکات لەوەی کە تاجەکە ئاڵتونی پوخت بێت، لەوە دەچێت زیو، یان شتێکی تری ئاوێتە کردوە کە ئاڵتون نیە. شا بۆ ئەوەی گومانەکەی بڕەوێتەوە، ناردی بە شوێن ئەرکەمیدسدا، کاتێک گەیشت، شا مەسەلەکەی بە ئەرکەمیدس گوت، بەڵام ئەرکەمیدس بۆی دەرکەوت ئەمە ئەرکێکی هەروا سانا نییە کە بزانیت ئایا ئەمە کانزای تری تێکەڵ کراوە یان نەء.

ڕۆژێک ئەرکەمیدس لە گەرماو خەریکی خۆشتن بو، لە ناکاو لە بانوەکە هەڵبەزیەوە و بازیدا و لە گەرماوەکە بەرەو دەرەوە ڕایکرد و بە ناو کۆڵانەکانی سیراکەسدا بە ڕاکردنەوە هاواری دەکرد” ئوریکا ، ئوریکا !” بە بێ ئەوەی هۆشی هەبێت کە بێ سیپاڵ و بێ پۆشاک ڕادەکات و تەواو ڕوتە. دەبێت سیمای خەڵکی گوزەرەکە لەو ساتەدا و لە هەمبەر ئەم دیمەنە سەمەرەیەدا چۆن بوبێت؟ ئوریکا ، وشەیەکی یۆنانیە و بە مانای دۆزیمەوە دێت، ئیتر لەو ڕۆژەوە ئەم وشەیە لە گەلێک فەرهەنگی دونیادا بەهای خۆی هەیە.

archimedes-4

ئەرکەمیدس لە کاتی خۆشتندا فکرەی حلکردنی تاجەکەی بۆ هات، بەڵام نەیتوانی لە بانوەکەدا خۆی بگرێت و هۆشی نەما. ئەرکەمیدس توانی ئەو پرینسیپە بدۆزێتەوە کە بە پرینسیپی ئەرکەمیدسی ناسراوە. بەمجۆرە توانی چڕی مادەیەک بەم شێوەیە بدۆزێتەوە: ئەگەر مادەکە بخرێتە ئاوەوە، ئەوا بڕێک لە ئاوەکە دەڕژێت و ئەو هێزەی مادەکە ڕوبەڕوی دەبێتەوە لەگەڵ ئەو ئاوەی لە بانوەکە دەڕژێت بەراورد بکرێت( واتە کێشی ئاوەکە)، ئەوا هەمان کێشیان هەیە. بەمجۆرە ڕێژەی کێشی مادەکە بۆ کێشی ئاوە ڕژاوەکە( چونکە لێرەدا قەبارەی مادەکە و ئاوە ڕژاوەکە یەکسانن) یەکسانن. کاتێک ئەرکەمیدس ئەم پرینسیپەی بەکارهێنا، توانی بە ئاسانی چڕی تاجە ئاڵتونیەکە لەگەڵ ئاڵتونی پوختدا بەراورد بکات ئەویش بە کێشانی تاجەکە لەسەر تەرازویەک لە هەمبەر ئاڵتونە پوختەکە و پاشان هەردوک پێکەوە لە ئاوەکە هەڵدەکێشێت. خۆ ئەگەر جیاوازی لە چڕی ئەم دوانەدا هەبو ئەوا تەرازوەکە لاسەنگ دەبێت. بێگومان دەرەنجامی ئەم دۆزینەوە زانستییەی ئەرکەمیدس بۆ کابرای زەڕەنگەر شتێکی زۆر ترسناک بو. هەرچەندە ئاشکرا نیە ئەم میتۆدە لە لای ئەرکەمیدسەوە بەکارهاتبێت، بەڵام لای گالیلۆ دەشێت ئەمە ئەو میتۆدە بێت کە بەکاری هێنابێت، چونکە زۆر وردە و بەندە لەسەر ئەو نمایشەی کە ئەرکەمیدس کردویەتی. ئاکامی تاقیکردنەوەکە ئەرکەمیدسی کرد بە بابی گەورەی فیزیک و کابرای زەرەنگەریشی بەرەو چارەنوسێکی نادیار، بێگومان تاریک، ڕاپێچکرد، چونکە دەرکەوت کە تاجەکە تێکەڵێکە لە ئاڵتون و قوڕقوشم و زەرەنگەرەکەش غەشی لە پادشا هیرۆن کردوە.

داستانی ئوریکا و تاجەکەی پادشا هیرۆن لەوانەیە تێکەڵێک بێت لە خەیاڵ و ڕاستی، بەڵام ئەوەی بە تەواوی و بێ هیچ گومانێک جێگای متمانەن ئەوەیە کە دۆزینەوەی یاسای پرینسیپە بنەڕەتیەکانی هایدرۆستایک لە لایەن ئەرکەمیدسەوە هەقیقەتێکی پوختە و هەرگیز نکۆڵی لێ ناکرێت، چونکە گەڵاڵەی ئەم پرینسیپە لە نامیلکەیەکی چەند لاپەڕەییدا بەرجەستە بوە و ئەرکەمیدس ناوی ناوە ” لەمەڕ سەرئاوکەوتنی تەنەکان”.

ئەرکەمیدس و ڕێژەی نەگۆڕ (پای π )

هه‌رچه‌نده‌ یۆنانه‌کان له‌ ڕووی فکرییه‌وه‌ چه‌مکی ناکۆتایان بۆ ئه‌زم نه‌کرا و لایان قبوڵ نه‌بوو، به‌ڵام له‌گه‌ڵ ئه‌وه‌شدا یه‌که‌م که‌سانن که‌ توانیان میتۆدێکی ماتماتیکی وه‌ها نایاب و دانسقه‌ به‌رجه‌سته‌ بکه‌ن و بخه‌نه‌گه‌ڕ بۆ دۆزینه‌وه‌ی به‌های گه‌لێک ژماره‌ی ناڕێژه‌یی. یه‌کێک له‌و ژمارانه‌ بریتییه‌ له‌ ژماره‌ی ڕێژه‌ی نه‌گۆڕ واته‌ پای یاخود، که‌ ئه‌م ژماره‌یه‌ش ده‌کاته‌ ڕێژه‌ی چێوه‌ی بازنه‌ بۆ تیره‌که‌ی.

ڕێژه‌ی نه‌گۆڕ یه‌کێکه‌ له‌و ژمارانه‌ی له‌ دێرزه‌مانه‌وه‌ ئه‌قڵی ئنسانی به‌گیرهێناوه‌ و سه‌رقاڵی کردووه‌ بۆ ئه‌وه‌ی بتوانێت به‌هایه‌کی نزیکی بۆ بدۆزێته‌وه‌، چونکە ‌ کە وه‌ک که‌رت ده‌کاته‌ …….3.142 به‌ڵام ژماره‌ی دوای فاریزه‌که‌ هه‌رگیز کۆتایی نایه‌ت و ناوه‌ستێت. میسرییه‌کان له‌ ده‌وروبه‌ری ساڵی 1650 پێشزاییندا(پز) ئه‌م به‌هایه‌یان مه‌زنده‌ کردووه‌ که‌ ده‌کاته‌ 3.16049، ئه‌م نرخه‌ بۆ ئه‌و ڕۆژگاره‌ شتێکی جوان و نایاب بووه‌. بێگومان ئه‌م به‌هایه‌ به‌جۆریک بووه‌ که‌ ڕاسته‌وخۆ و به‌ ده‌ست و پراکتیکی چێوه‌ و تیره‌ی بازنه‌که‌‌یان پێواوه‌ و پاشان چێوه‌که‌یان دابه‌شکردووه‌ به‌سه‌ر تیره‌که‌دا و به‌هاکه‌یان بۆ ده‌رچوه‌. واته‌ لێره‌دا پێویسته‌ ئه‌و هه‌قیقه‌ته‌ بگوترێت که‌ میتۆدێکی ماتماتیکی وه‌هایان به‌کارنه‌هێناوه‌ بۆ دۆزینه‌وه‌ی پای. به‌ڵام یۆنانه‌کان به‌مجۆره‌ پایان دیاری نه‌کردووه‌، به‌ڵکو میتۆدێکی به‌رزی وه‌ها جوانیان به‌کارهێناوه‌ که‌ ته‌واو بلیمه‌تانه‌یه‌. بێگومان دۆزەری ئه‌م میتۆده‌ شۆڕه‌سواری ماتماتیک و میکانیکی ڕۆژگاری ئه‌سکه‌نده‌رییه‌ و سیراکه‌س ئه‌رکه‌میدسه‌.

archimedes-5

ڕێژەی نەگۆڕ بە یەکێک لە ژمارە هەرە مەنشورەکانی ماتماتیک دادەنرێت و بە زمانی ماتماتیک ڕێژەی نەگۆڕ  (پای) بریتیە لە چێوەی بازنە لەسەر تیرەکەی. بەهای ئەم ژمارەیە، واتە ڕێژەی چێوە بۆ تیرەکەی، هەرگیز بەند نیە بە گەورەیی بازنەکەوە، جا بازنەکە گەورە بێت یان بچکۆلە، ئەوا ڕێژەی نەگۆڕ هەر بە نەگۆڕی دەمێنێتەوە.

 کاتێک باس لە نەگۆڕەکانی سروشت دەکرێت، ئەوا بۆ ناوبانگی پای لە لیستی هەرە پێشەوەدا دێت. هەرچەندە بازنە یەکەم ماڵی ڕێژەی نەگۆڕە، بەڵام لە هەمو بوارێکی ماتماتیک و گەلێک شوێنی تر کە هیچ پەیوەست نین بە بازنەوە بونیان هەیە، لە هەر یەک لە توێژینەوەکانی زانستی فیزیک، کیمیا و ئەسترۆنۆمیدا سەردەردێنێ. خۆ ئەگەر ڕێژەی نەگۆڕ نەبێت، ئەوا سیستەمی گەردون هەرگیز بەو جۆرە نیزامیە نەدەگەڕا. جگە لەوەی کە ڕێژەی نەگۆڕ لە هەمو گۆشەیەکی زانستەکانی سروشتدا هەیە کەچی لە توێژینەوەکانی کۆمەڵناسی مرۆییدا خۆ دەنوێنێت، بۆ نمونە لە زانستی کۆمەڵناسیدا لە پرسی دابەشبونی دانیشتواندا خۆ قوت دەکاتەوە[v].

مەسەلەی ڕێژەی نەگۆڕ لە سەردەمی بابلیەکانەوە بایەخی پێدراوە، 2000 ساڵ پێشزایین بابلیەکان سەرنجیان داوە کە چێوەی بازنە، بە نزیکی دەکاتە سێ ئەوەندەی تیرەکەی. میسریەکانیش بەهاییەکی باشیان بۆ پای دۆزیوەتەوە، بەڵام ئەم دو شارستانیەتە تەنها لە ئەنجامی پراکتیکیەوە ئەم بەهایانەیان دیاریکردوە و هیچ جۆرە تیۆرییەکی ماتماتیکییان نەخستۆتەگەڕ و کاری لەسەر بکەن. ئەرکەمیدس یەکەم زانا بو کە یەکەم هەوڵی جدی بدات بۆ دۆزینەوەی بەهای وردی ڕێژەی نەگۆڕ.

ڕێژەی نەگۆڕ یەکێکە لەو ژمارانەی کە بە ژمارە ناڕیژەییەکان ناودەبرێت، ئەو ژمارانەی کە لە ژمارەیەکی تەواو و ژمارەیەکی دوای فاریزەکە پێکدێن کە بەهاکەی لە یەک کەمترە، بەڵام گرفتەکە لەوەدایە ئەم ژمارەیەی دوای فاریزەکە هەرگیز کۆتایی نایەت و نرخێکی وەهامان بۆ نایەتەدی کە ئیتر لە شوێنێکدا بوەستین. نمونەی ژمارە ناڕێژەییەکان وەکو ڕەگی دوجای دو، ڕەگی دوجای پێنچ، ڕەگی دوجای حەوت. ئەمانیش پەیوەستن بە پرسی ناکۆتاوە، ئەو پرسەی لە یۆنان بوە هۆی خوڵقاندنی ئاشوب لە نێو ماتماتیکناساندا، بە تایبەت کاتێک کاریگەری ڕاستەوخۆی کردە سەر فەلسەفەی ژمارەیی فیساگۆرسەکان، چونکە لای فیساگۆرسەکان پێکهاتەی گەردون بەندە لەسەر پەیوەندی ژمارەیی و ژمارەکانیش نابێت ناڕیژەیی بن، ئەقڵیان بە هیچ جۆرێک ئەم چەمکە تازەیەی ژمارەی قبوڵ نەدەکرد. ئەم بیرکردنەوەیە هەتا سەردەمانێک بەردەوام بو، بەڵام کاتێک ماتماتیکناسی گەورە و بلیمەت ئودۆکسەسی کنیدۆسی (408 – 355 ) هات و میتۆدێکی دۆزییەوە کە بتوانێت لە کاری ماتماتیکیدا خۆی لە قەرەی ئەم جۆرە ژمارانە نەدات، پاشانیش ئەرکەمیدس بە سودبینین لەم میتۆدە توانی بەهایەکی نایاب بۆ یەکەمجار لە مێژودا دیاری بکات کە ئێستا بە  ناسراوە و قوتابیان لە پلەی خوێندنی ناوەندیدا ئاشنایەتیان لەگەڵدا هەیە.

archimedes-6

میتۆدەکەی ئەرکەمیدس، کە لە ماتماتیکدا بە (میتۆدی هیلاکسازی method of exhaustion ) مەنشورە، بەندە لەسەر ڕامانێکی سادە. ئەگەر بازنەیەک بهێنین و سەیربکەین و لە دەرەوەی بازنەکە یەکەمجار چوار گۆشەیەک بە دەوری بازنەکەدا بکێشین، پاشان بە هەمان شێوە لە ناوەوەی بازنەکەدا چوار گۆشەیەک بکێشین. ئنجا ئەم چوار گۆشەیە، لە دەرەوە و ناوەوە بکەینە فرە لایەکی ڕێکی پێنچ لا، دوایی هەنگاو بە هەنگاو ئەگەر ژمارەی لاکانی فرەلا ڕێکەکە، لە دەرەوە و ناوەوەی بازنەکە، زیادبکەین، دەبینین کە ئەم دو فرە لا ڕێکە لە دەرەوە و ناوەوە لە یەکتر نزیک دەبنەوە، هەتا سەرەنجام هەردوکیان لەسەر چێوەی بازنەکە بە یەک دەگەن و دەبنە چێوەی بازنەکە. لای ئەرکەمیدس ئەگەر چێوەی ئەم فرەلایانە بدۆزینەوە و دابەشیان بکەین بەسەر تیرەی بازنەکەدا ئەوا بەهای (پای) مان بۆ مەزەندە دەکرێت، بەڵام هەرگیز بەها ڕاستەقینەکەی ناتوانین دەربهێنین. ئەرکەمیدس میتۆدەکەی وەها دەستپێکرد ئەگەر ژمارەی فرە لای دوەم شەش لا بێت( لە دەرەوە و ناوەوە)، ئنجا دوازدە لا، بیست و چوار لا، چل و هەشت لا و دواجاریش نەوەد و شەش لا بێت. واتە (96،48،24،6،12). هەروەک لە وێنەکەدا دیارە.

ئەرکەمیدس دواجار توانی بۆ فرە لای 96 یەکە بەهای پای لە دەرەوە بە (3.14271)، مەزەندە بکات، ئەم بەهایەش زۆر نزیکە لەو نرخەی کە لە قوتابخانەکاندا بە ڕێژەی نەگۆڕ ناوی دەبەن و دەکاتە  . بەڵام ئەرکەمیدس لە دوی بەهایەکی باشتر دەگەڕا، هەر بۆیەش هەمان میتۆدی بەکارهێنا بۆ دۆزینەوەی چێوەی فرە لاکان لە ناوەوەی بازنەکە، هەتا گەیشتە چێوەی ئەو فرە لایەی کە ژمارەی لاکانی 96 بو (لە ناوەوەی بازنەکە)، دوای دابەشکردنی بەسەر تیرەی بازنەکە بەهای ڕێژەی نەگۆڕی لە ناوەوە بە بە (3.14103)، یاخود 3\frac{10}{71}. ئەرکەمیدس بۆی دەرکەوت کە بەهای ڕاستەقینە دەکەوێتە نێوان ئەم دو بەهایەوە. واتە:

3.14084<\pi<3.142858

بۆ ئەوەی بەهایەکمان دەست بکەوێت کە ئیتر بە تەواوی بڵێین ئەمە نرخی ڕەهای ژمارەی نەگۆڕە، ئەوا هەروەک ئەرکەمیدس ئیشارە پێداوە ئەوەیە کە پێویستە ژمارەی فرەلاکان لە دەرەوە و ناوەوە ناکۆتا بێت.

لە دوای ئەرکەمیدس، چینییەکان بەهایەکی نوێیان بۆ ڕێژەی نەگۆڕ دۆزییەوە کە بریتی بو لە ڕەگی دوجای دە و ژمارەی کەرتی دوای فاریزەکە بیست خانە بو ، پاشان لە دەوروبەری 500 پاشزاییندا ، ماتماتیکناسی بە توانای هندی براهماگوپتا توانی نرخێکی باشتر بۆ ڕێژەی نەگۆڕ بدۆزێتەوە.

ڵە رۆژگاری هاوچەرخدا، ڕێژەی نەگۆڕی (پای) زۆر سەرنجی زانایان و ماتماتیکناسانی ڕاکێشاوە، لە ساڵی 1873 دا، ماتماتیکناسی ئنگلیزی ولیام شانکس William Shanks (1812 – 1882) توانی بەهایەکی نوێ بۆ پای دیاری بکات بە جۆرێک کە کەرتی دوای فاریزەکە لە 700 خانە پێکهاتبو. دەرەنجامەکەی شانکس بۆ سەردەمەکەی هەتا بڵێی ورد و بلیمەتانەبو.

archimedes-7

مێژوی ڕێژەی نەگۆر لە ماتماتیکدا پێگەیەکی سەرنجڕاکێشی هەیە، لێرەدا ناکرێت بە درێژی ئەو مێژوە باس بکرێت، بەلام لە هەمان کاتیشدا، مرۆڤ ناتوانێت بەسەر ئەم دیرۆکەدا باز بدات و ناوی بلیمەتێکی ئەفسوناوی وەک ڕامانۆجان نەهێنێت. ڕامانوجان ماتماتیکناسێکی لاوی هیندی سەدەی بیستەم بو کە توانی بەهایەکی زۆر جوان و نایاب بۆ ڕێژەی نەگۆڕ بدۆزێتەوە. داستانی ڕامانوجان لە جۆرە حیکایەتێکی ئەفسانەیی دەچێت، چونکە قودرەتی بیرکردنەوەی ئەقڵی هێندە فراوان بوە کە دەڵێیت لە فەزایەکی ترەوە هاتۆتە خوار و زیاتر لە سیمایەکی سەرابی دەچێت وەک لە وەی کەسێکی ڕاستەقینە بێت. ڕامانوجان (1887 –1920) لە گوندێکی دورەدەستی هندستان، لە باوەشی خێزانێکی زۆر هەژار و کەم دەرامەتدا هاتۆتە دنیاوە. ڕامانوجان، هەر زۆر زو دەرک دەکات کە توانستی ماتماتیکی هەیە، هەمیشە لە پۆلدا هەر خەریکی ماتماتیک دەبێت و هەمو وانەکانی تر فەرامۆش دەکات، هەر بۆیەش مەنحەی زانکۆ بۆ خۆی فەراهەم ناکات، چونکە لە هەمو وانەیەکی تردا ڕاسب دەبێت. سەرەنجام، بۆ دابینکردنی بژێوی خۆی و ژنە تازەکەی(تەمەن سیازدە ساڵە) دەبێت بە موەزەف لە بەشی حساباتی بەندەری شاری مەدراس و ساڵانە موچەکەی تەنها پەنجا دۆلار بوە. هەرچەندە لە هەمو جۆرە ڕاهێنانێکی ئەکادیمیانەی ماتماتیک بێبەش بوە، بەڵام خۆی فێری ماتماتیک کردوە و بە بێوچان خەریکی خوێندنی ماتماتیک بوە، بە بەردەوامیش لە دەفتەرەکەیدا هاوکێشە دەنوسێت.

ئەو بەهایەی رامانوجان لە ساڵی 1910 دا بۆ پای دۆزییەوە بەمجۆرە بو

archimedes-8

سەرباری ئەوەی رامانوجان بەهایەکی نایابی بۆ پای دۆزییەوە، بەڵام ئەوەی ڕامانوجان زیرەکی لە میتۆدەکەیدا بو. لەگەڵ ئەمەشدا تەنها بەهاکەی شانکس وەک پێوەرێکی ستاندارد لە ئارادابو، هەتا لە ساڵی 1946 دا، فەرەنسییەکی تر، بە ناوی دی. ئێف. فێرگەسۆن D. F. Ferguson ، بەهایەکی نوێی دۆزییەوە، کە ژمارەی کەرتی دوای فاریزەکە 710 خانەبو.

ramanujan2

لە ساڵی 1947 دا، ماتماتیکناسی ئەمەریکی جەی. دەبلیو. رێنچ J. W. Wrench توانی بەهایەکی نایابتر و وردتر بۆ پای بدۆزیتەوە کە بریتی بوو لە 800 ژمارەی کەرت، ئەمەش بۆ خۆی دەسکەوتێکی گەورەبوو، بەڵام دوایی و دیسانەوە دی.ئێف. فێرگوەسۆن، کە لەوەبەر ناویمان هێنا، هات و هەڵەیەکی بچکۆلەی لە خانەی 723 ی لە ژمارەکەی رێنچدا دۆزییەوە، دوای ساڵێک پێکەوە بەها ڕاستە نوێکەیان بڵاوکردەوە کە بریتی بو لە 808 خانەی دوای فاریزە. بەمجۆرە ئەم سەرکەوتنە، لە بری یەک کەس، بوو بە بەرهەمی سەکەوتنی دوو ماتماتیکناس. ئەم دو پیاوە جارێکی تر بەهایەکی تازەیان دۆزییەوە کە لە 1120 خانەی دوای فاریزە پێکهاتبو.

archimedes-18

بەڵام لە ساڵی 1949، دنیای زانست و تەکنەلۆژی گۆڕانێکی سەیری بەسەردا هات، زەمەن هێدی هێدی بوو بە سەردەمی کۆمپیوتەر و هەر هەمان ڕێنچ، لەگەڵ زانایەکی تردا بە ناوی ل.ڕ.سمیت، پێکەوە بۆ یەکەمجار بەهای ”پای” یان بە یارمەتی کۆمپیوتەر حسابکرد. یەکەم ئامێری کۆمپیوتەری کە بۆ ئەم مەبەستە حساباتە بەکارهات کۆمپیوتەری ئینیاک ENIAC بوو، درێژی بەهاکەش 2037 ژمارە دوای فاریزە بوو، ئەمە بۆ خۆی شۆڕشێک بوو لە بواری حساباتی ماتماتیکدا. ئەمە لە کاتێکدا کە ئەم ئامێرە، بە بەراورد لەگەڵ ستانداردی تەکنەلۆژی ئەمڕۆدا، سادەترین فۆرمی کۆمپیتەر بوو، تەنانەت هێندەی ژورێک گەورە بووە، هەتا بڵێی خاو بوو، بەڵام لەگەڵ ئەوەشدا ئەم ئامێرە زەبەلاحە، توانی بۆ یەکەمجار لە مێژویی مرۆڤایەتیدا هەموو سنورەکانی ئەقڵی ئادەمیزاد بە جۆرێک ببڕێت، کە تەواو مایەی سەرسامی بوو، شۆڕشێک بوو لە ژمارەکاریدا. دەرەنجامەکانی کۆمپیوتەر وەها وردبون، چیتر پێویستی نەکرد کە فیرگەسۆن بگەڕێت لە دوی هەڵە. شان بە شانی بەرەوپێشچونی تەکنەلۆژیای کۆمپیوتەر هێدی هێدی بەهای باشتر و گەرورەتر بۆ پای هاتە ئاراوە. لە ساڵی 1959 دا بوو بە 16000 خانەی ژمارەیی دوای فاریزە، لە ساڵی 1966 بوو بە چارەکە ملیۆنێک و ساڵی 1980 ش، بە هۆی لەدایکبونی سوپەر – کۆمپیوتەرەکانەوە ئەم ژمارەیە بازیدا بۆ نیو بلیۆن.

کاتێک مرۆ لەم پێشکەوتنە لە ئاسابەدەر و سەرسورهێنانە ورددەبێتەوە، دەبینێت بەو جۆرە خێراییە گەشەدەکات و بەو خێراییەش ئەنجامەکان دەبینین لە کۆمپیوتەرەوە دێنەدەر، کە بە هیچ جۆرێک بە درێژایی مێژوی بیرکاری لە بیست و دوو سەدەدا ئنسان هەرگیز شتی وای بە خۆوە نەدیوە. ئەم ئامێرانە هەر هەموی بەرهەمی بیرکردنەوە و داهێنانی ماتماتیکناسانن، بە پلەی یەک، ڕابەری مەزنی ئەم بیرکردنەوە ماتماتماتیکیە و سەرکەوتنەکەی دەگەڕیتەوە بۆ ئەو پیاوە سادەیەی ڕۆژێک لە ڕۆژان بە جۆرێک لە ئەندێشەی ماتماتیکدا نقوم بوبو، کە بە بێ ئەوەی هۆشی لە خۆی بێت، بە ڕوتی و بێ سیپاڵ بە کۆڵانەکانی سیراکەسدا ڕادەکات و هاواردەکات ”ئوریکا”، ”ئوریکا”. ئەو پیاوە ئەرکەمیدس بوو.

سەرچاوەکان و پەراوێزەکان

[i]پیاوانی ماتماتیک: ئی. تی. بێڵ.

  1. T. Bell. Men of Mathematics (Touchstone Books ) Paperback. 1986.

[ii] پاڵدان بە شانی مەزنانەوە.

Melvyn Bragg. On Giants’ Shoulders: Great Scientists and Their Discoveries from Archimedes to DNA Paperback.1999

[iii] زۆربەی زانیاریەکان لەمەڕ ئەم ڕوداوانە لە بناواند لە کتێبە مێژوییەکەی پلۆتارک ” ژیانی مارسیلەس” باسکراوە، کە دو سەدە دوای دوای ئەرکەمیدس نوسراوە. بەڵام من لێرەدا لە کتێبی ”گەشتێک بە نێو بلیمەتاندا: تیۆرمە مەزنەکانی ماتماتیکەوە” وەرم گرتون.

William Dunham. Journey Through Genius: The Great Theorems of Mathematics Paperback. 1991

[iv] پیاوانی ماتماتیک: ئی. تی. بێڵ.

  1. T. Bell. Men of Mathematics (Touchstone Books ) Paperback. 1986.

[v] لە ساڵی 1940 دا فیزیکناسی گەورەی هەنگاری، کە هەڵگری خەڵاتی نۆبڵ بو، گوتارێک دەنوسێت لەمەر ”کاریگەری ناقۆڵای ماتماتیک لەسەر زانستە سروشتیەکان”. سەرەتای گوتارەکە بەمجۆرەیە: داستانێک هەیە لەمەر دو هاوڕێ، گوایە لە پلەی ئامادەیی خوێندندا هاوپۆل بون. ئەم دو هاوڕێیە دەکەونە گفتوگۆ و قسە دێتە سەر ئیش کە بۆ بژێوی ژیان چی دەکەن. یەکێکیان ستاتیستیکناسە(پسپۆڕی ئحسائی) و حاڵی حازر سەرقاڵی کارکردنە لەسەر پرسەکانی ئاکاری دانیشتوان. یەکێک لە کارەکانی پیشانی هاوپۆلەکەی دەدات. کارەکە بە دابەشبونی گاوسی سەبارەت بە دابەشبونی دانیشتوان دەستپێدەکات. برادەرە ستاتیستیکناسەکە دەکەوێتە ڕونکردنەوەی هیماو ژمارەکان. هاوپۆلەکەی سەرەتا باوەڕی بە شتەکان نەکرد و دڵنیا نەبو کە ئایا هاوڕێ ستاتیکناسەکەی سوعبەتی لەگەڵ دەکات یان هەر بە ڕاستی قسان دەکات و دەڵێت ” چۆن ئەمە دەزانیت، ئەی ئەو هیمایە لێرەدا چیە؟” ستاتیکناسەکە گوتی ” ئەوە ڕێژەی نەگۆڕە(پای)”، برادەرەکە دەپرسێت ”ئێ باشە چیە؟” ئەویش لە وەڵامدا دەڵێت ” بریتیە لە ڕێژەی چێوەی بازنە لەسەر تیرەکەی.” برادەکە دەڵێت ” خەریکە بە تەواوی هەر سوعبەتەکە دەکەیت بە ڕاست و زیاد دەڕۆی، بە دڵنیایەوە دانیشتوان پەیوەندی بە چێوەی بازنەوە نیە”.

Advertisements

وەڵامێک بنووسە

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / گۆڕین )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / گۆڕین )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / گۆڕین )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / گۆڕین )

Connecting to %s