كۆساینی شه‌ش ده‌كاته‌ چه‌ند؟

بیركاری زانستێكی وورده‌، به‌لام هه‌میشه‌ ناتوانریت وه‌ڵامێكی ته‌واو و ده‌قیق بۆ پرسیارێكی بیركاری بدۆزرێته‌وه‌. نموونه‌یه‌كی ساده‌ی له‌مه‌رئه‌مه‌ دۆزینه‌وه‌ی ڕه‌گی ڕاده‌داره‌كانه‌ (roots of polynomial) كاتێك پله‌ی ئه‌و ڕاده‌داره‌ له‌ چوار زیاتر بن ئه‌وا یاساگه‌لێكی گشتی نین بۆ دۆزینه‌وه‌ی ڕه‌گه‌كانیان، ئه‌وه‌ی هه‌یه‌ ته‌نها ڕێگای ته‌قریبین.

ئه‌م هۆكاری نه‌دۆزینه‌وه‌ی وه‌ڵامی ته‌واوه‌ نه‌ك نه‌بووه‌ته‌ هۆیی نه‌نگی و لاوازی بۆ بیركاری، به‌ڵكو له‌گه‌لیشیدا بیركاری ده‌وڵه‌مه‌ند كردووه‌ ئاسۆی ئیشكردنی له‌ناو ئه‌م دیسپلینه‌دا زیاتر كردووه‌، به‌وه‌ی زۆر لق و به‌ش له‌ ناو خودی بیركاری درووستبووه‌ كه‌ له‌ جیاتی ئه‌وه‌ی بگه‌رێت به‌دوای وه‌ڵامی راست، دێت و به‌دوای باشترین وه‌ڵام یاخود وه‌ڵامێكی زۆر نزیك\ته‌قریبی بۆ وه‌ڵامه‌ ده‌قیقه‌ ده‌ۆزیته‌وه‌. سه‌د ده‌ر سه‌د ئه‌م په‌نده‌ كوردیه‌ بۆ ئه‌م مه‌سه‌له‌یه‌ ده‌گونجێت كه‌ ده‌ڵێت ” خوا ده‌رگایه‌كت لێدابخات هه‌زاری ترت لێده‌كاته‌وه‌”.  له‌ خواره‌وه‌ كۆمه‌لێك له‌م لقانه‌ی بیركاری ریز ده‌كه‌م كه‌ زیاتر كاریان دۆزینه‌وه‌ی وه‌ڵامی ته‌قریبیه‌:

  1. شیته‌لكاری بیركاری (Numerical Analysis)
  2. ئۆپتیمایزه‌یشن یان گەران بەدوای بەها کۆتاییەکاندا (Optimization)
  3. توێژینه‌وه‌ی كرداری (Operation Research)
  4. تیۆری نزیكردنه‌وه‌ (Theory Of Approximation)
  5. هتد

ئه‌و به‌شانه‌ی كه‌ ناومهێنان سه‌رجه‌میان ته‌تبیقاتی گرنگی هه‌یه‌, بۆ نموونه‌ شیته‌ڵكاری بیركاری سودی لێوه‌رده‌گیریت بۆ داڕشتنی مۆدیلیكی كه‌ش و هه‌وا یاخود ئه‌تمۆسفێر، توێژینه‌یوه‌ی كرداری زیاتر له‌ دوای جه‌نگی جیهانی دووهه‌مه‌وه‌ گه‌شه‌یكرد و زیاتر كه‌مكردنه‌ی زیانی و زیادكردنی زیانه‌ به‌ لایه‌نی به‌رامبه‌ره‌، ئۆپتیمایزه‌یشن له‌ ئابوردیدا سودی لێوه‌رده‌گیرێت.

هه‌موو ئه‌و قسانه‌ی سه‌ره‌وه‌ ته‌نها وه‌كو پێشه‌كیه‌كه‌ بۆ پۆستی ئه‌م جاره‌مان كه‌ پرسیاری ئه‌وه‌ ده‌كات كه‌ ئاخۆ:

\cos(6)

ده‌كاته‌ چه‌ند؟

ئه‌م پرسیاره‌ كه‌ سه‌ر به‌ سێگۆشه‌كاریه‌ (Trigonometry) وه‌ گۆشه‌كه‌ كه‌ له‌م پرسیاره‌دا ده‌كاته‌ 6  نیوه‌تیریه‌ یاخود ره‌یدیه‌ن (radian) وه‌ گۆشه‌یه‌كی ستاندارند نیه‌، ئه‌مه‌یش واده‌كات كه‌ نه‌توانین وه‌ڵامێكی ده‌قیق بۆ ئه‌م پرسیاره‌ بدۆزینه‌وه‌، گه‌ریش بیرتنه‌ماوه‌ كه‌ گۆشه‌ ستانداره‌كان له‌ سێگۆشه‌كاریدا چیه‌، ئه‌وه‌ باشترین بیرهێنانه‌وه‌ سه‌یركردنی ئه‌م وێنه‌یه‌ی خواره‌وه‌یه‌ كه‌ پێیی ده‌وتریت بازنه‌ی یه‌كه‌ (unit circle) كه‌ هه‌موو قوتابییه‌كی ئاماده‌یی پێویسته‌ ئاشنایه‌تی هه‌بێت له‌گه‌ڵیدا:

720px-unit_circle_angles_color

گه‌ر به‌وردی ته‌ماشای وێنه‌كه‌ی سه‌ره‌وه‌ بكه‌یت، ده‌بینیت كه‌ گۆشه‌ ستانداره‌ سه‌ره‌كیه‌كان بریتین له‌ :

0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}

یاخود به‌شێوه‌ی پله‌ ده‌كاته‌:

 0,30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ

كه‌ ڕوونه‌ من له‌م پۆسته‌ مه‌به‌ستم له‌ جۆری یه‌كه‌میانه‌ واته‌ به‌ ره‌یدیان یاخود گۆشه‌ی نیوه‌تیره‌یی ئیش ده‌كه‌ین.

كاتی ئه‌وه‌یه‌ بۆ پرسیاره‌كه‌ بگه‌رینه‌وه‌ كه‌ ئاخۆ \cos{6} ده‌كاته‌ چه‌ند كاتێك 6 ژماره‌یه‌كی ره‌یدیانه‌، نزیكترین گۆشه‌ی ستاندارد له‌ 6 ده‌كاته‌ 2\pi  كه‌ دیاره‌ نرخه‌كه‌ی به‌ نزیكی ده‌كاته‌  6.28318530718.

ڕێگای یه‌كه‌م: پاوه‌ر سیریه‌س ( ڕێگایه‌كی كۆمپیوته‌ری)

گه‌ر كه‌سێك ئاشنایه‌كی له‌گه‌ل چۆنیه‌تی كاركردنی بیركاری و كۆمپیوته‌ر هه‌بیت، ده‌زانیت كه‌ گه‌ر هاتوو هه‌مان پرسیار بده‌یت به‌ كۆمپیوته‌ر ئه‌وا رێگایه‌كی ته‌واو جیاواز به‌كارده‌هینت، كۆمپیوته‌ر بۆ ئه‌م جۆره‌ پرسیاره‌ ته‌قریبیانه‌ زیاتر بیرۆكه‌ی زنجیره‌ی توانی یاخود پاوه‌ر سیریه‌س (power series) به‌كارده‌هینیت چونكه‌ له‌گه‌ل سروشتی كاركردنی كۆمپیوته‌ردا گونجاوه‌, بیرۆكه‌ی پاوه‌رسیریه‌س به‌ جۆرێكه‌ كه‌ ده‌ڵیت گه‌ر هاتوو نه‌خشه‌یه‌كمان هه‌بێت كه‌ داتاشراوه‌ی یه‌كه‌م و دووهه‌م و هتد پێناسه‌كراو بیت، ئه‌وا ده‌توانیت ئه‌و نه‌خشه‌یه‌ به‌شێوه‌ی سیریه‌سێكی ناكۆتا بنووسین كه‌ هاوشێوه‌ی ڕاده‌دارێته‌ ( هه‌ڵبه‌ت پله‌ی ڕاده‌داره‌كه‌ ده‌كریت بلین ناكۆته‌یه‌) وه‌ كۆلكه‌كانی ئه‌م زنجیره‌ ناكۆتایه‌ په‌یوه‌سته‌ به‌ داتاشراوه‌ی نه‌خشه‌كه‌وه‌.

بۆ نموونه‌: پاوه‌رسیریه‌سی ( باشتره‌ بڵێین ماكلۆریه‌ن) كۆساین ده‌كاته‌ ده‌كاته‌:

{\displaystyle \displaystyle \cos(x)=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}

له‌ ڕاستیدا كاتێك تۆ پرسیارێكی له‌وه‌ی كردوومانه‌ ئه‌ده‌یت به‌ كۆمپیوته‌ر یان حاسیبه‌ ئه‌وا ئه‌و ئامێره‌ هه‌ڵده‌ستێت به‌ له‌ جیاتیدانانی ژماره‌كه‌ له‌ بری x له‌ناو پاوه‌رسیریه‌سه‌كه‌. بۆ پرسیاره‌كه‌ی ئێمه‌ كه‌ ژماره‌یه‌كه‌ 6 به‌م جۆره‌ی لێدێت:

{\displaystyle \displaystyle \cos(6)=1-{6^{2} \over 2!}+{6^{4} \over 4!}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}6^{2n}}{(2n)!}}}

دواتر كۆمپیوته‌ر ته‌نها به‌شێكی دیاریكراوی له‌ تێرمه‌كانی سه‌ره‌تای حساب ده‌كات، واته‌ له‌وانه‌یه‌ حاسبه‌كه‌ت ته‌ناه 100 تێڕم حساب بكات ( ئه‌و كاته‌ ده‌وتریت ئۆرده‌ری ئه‌ژماركردنه‌كه‌ سه‌ته‌) له‌كاتێكدا كۆمپیوته‌ره‌كه‌ت 1000 یاخود له‌ وانه‌یه‌ ۆڵفرۆم ئه‌لفا  10000 ( ئۆرده‌ر ده‌كاته‌ ده‌ هه‌زار) حساب بكات، به‌م جۆره‌ هه‌تاوه‌كو زیاتربیت ئه‌وا باشتر ئێمه‌ بۆ ئاسانی ته‌نها سێ تێرمی یه‌كه‌م حساب ده‌كه‌ین به‌م جۆره‌ی لێدێت:

\cos{6}=1-{6^{2} \over 2!}+{6^{4} \over 4!}=1-18+54=37

واو….واو….

 ده‌ڵێت cos(6)=37 له‌كاتێكدا بواری به‌رامبه‌ری كۆساین له‌نێوان سالب یه‌ك و یه‌كدایه‌، كه‌واته‌ هه‌ڵه‌یه‌كی گه‌وره‌مان كردووه‌؟ له‌ راستیدا هیچ هه‌ڵه‌یه‌كمان نه‌كردوو به‌لكو سروشتی ته‌قریبكردن به‌ پاوه‌رسیره‌س ئه‌وهایه‌. جونكه‌ ته‌نها سێ تێرمان وه‌رگرتووه‌ تووشی ئه‌م كێشه‌یه‌ هاتووین گه‌ر زیاتر وه‌ربگرین بۆ نموونه‌ چوار تێڕم ئه‌وا نزیكراوه‌یه‌كی باشترمان ده‌ستده‌كه‌ویت ئه‌ویش -4.6 كه‌ زۆر له‌وه‌ی یه‌كه‌م باشتره‌ با ئه‌مجاره‌ شه‌ش تێرم وه‌ربگرین كه‌ ده‌كاته‌ -4.5 كه‌ به‌ تاكید له‌دوانه‌كه‌ی تر باشتره‌، ئینجا تۆ ته‌سه‌وری ئه‌وه‌ بكه‌ كه‌ گه‌ر هاتوو ژماره‌یه‌كی زۆرتر له‌ تێرمه‌كان وه‌ربگرین  ئاخۆ ده‌بیت  تاوه‌كو چه‌ند نزیك ببینه‌وه‌؟

ڕێگای دووهه‌م: پاوه‌ر سیریه‌س ( ڕێگایه‌كی كۆمپیوته‌ری)

با واز له‌ پاوه‌رسیریه‌ و كۆساین بهینین و محاوه‌له‌ بكه‌ین له‌ ڕێگای كالكوله‌سه‌وه‌ وه‌ زۆر به‌تایبه‌ت له‌ڕێگای داتاشراوه‌وه‌ نرخی cos(6) بدۆزینه‌وه‌.

یاسای تایبه‌ت به‌ داتاشراوه‌ی كۆساین له‌ ڕێگای ئامانجه‌وه‌ به‌م شێوه‌یه‌یه‌:

\frac{d}{dx}(\cos{a})= \displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \frac{\cos{x}-\cos{a}}{x-a}

كه‌ دیاره‌ لای چه‌پ ده‌كاته‌ سالب ساین، واته‌ هاوكێشه‌كه‌ به‌مجۆره‌ی لێدێت:

-\sin{a}= \displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \frac{\cos{x}-\cos{a}}{x-a}

هه‌ڵبه‌ت گه‌ر هاتوو بۆ ئه‌م پرسیاره‌ ئه‌و خاڵه‌ی كه‌ داتاشراوه‌كه‌ی وه‌رده‌گرین كه‌ a بكاته‌ 2\pi ئه‌وا هاوكێشه‌كه‌ی سه‌ره‌وه‌ به‌م جۆره‌ی لێدێت:

\sin{2\pi}= \displaystyle \lim_{x \rightarrow 2\pi} \frac{\cos{x}-\cos{2\pi}}{x-2\pi}

له‌مه‌یش ساده‌تر:

\sin{2\pi}= \displaystyle \lim_{x \rightarrow 2\pi} \frac{\cos{x}-1}{x-2\pi}

فێڵ و تریكه‌ بیركاریه‌كه‌ له‌م خاڵه‌ی خواره‌وه‌دایه‌:

 گه‌ر هاتوو ئه‌و x زۆر له‌ 2\pi نزیك بێت ئه‌وا ده‌توانین لیمیته‌كه‌ یاخوود ئامانجه‌كه‌ هه‌ڵبگرین به‌ڵام ده‌بیت نیشانه‌ی یه‌كسانه‌كه‌ بگۆرین بۆ نیشانه‌ی نزیكراوه‌یی.. به‌م جۆره‌ی خواره‌وه‌:

\sin{2\pi} \simeq \frac{\cos{x}-\cos{2\pi}}{x-2\pi}  به‌مه‌رجێك x نزیكبێت له‌ 2\pi.

وه‌ ده‌كریت بلین كه‌ وه‌كو پێشتر ئاماژه‌مان پێدا كه‌ 2\pi نزیكه‌ تاراده‌كه‌یه‌كی باش له‌ 6 كه‌واته‌ ده‌توانین ئه‌و یاساییه‌ی سه‌ره‌وه‌ی بۆ به‌كاربهینین، به‌م جۆره‌یه‌ش هاوكێشه‌كه‌ی سه‌ره‌وه‌ ده‌گۆرێت بۆ:

\sin{2\pi} \simeq \displaystyle  \frac{\cos{6}-1}{6-2\pi}

0 \simeq \displaystyle  \frac{\cos{6}-1}{6-2\pi}

دواجار:

\cos{6} \simeq 1

 كه‌ دیاره‌ نرخێكی نزیكراوه‌یه‌ زۆر چاكه‌ گه‌ر هاتوو به‌راوردبكرێت له‌گه‌ل ئه‌ن نرخه‌ی كه‌ له‌ كۆمپیوته‌ر ده‌یدۆزینه‌وه‌ كه‌ ده‌كاته‌:

 0.960170286650366020545652297922924405451937679211012698129

كاتی ئه‌وه‌یه‌ به‌شێوه‌یه‌كی فۆرمال باس له‌وه‌ بكه‌ین كه‌ ئاخۆ ئه‌وه‌ی به‌كارمانهێنا ناوی چیه‌؟

نزیكردنه‌وه‌ی هێڵی (Linear Approximation)

گه‌ر هاتوو نه‌خشه‌یه‌كی وه‌كو f(x) مان هه‌بوو كه‌ داتاشراوه‌ی ئه‌وا:

f(x)\simeq f(x_0)+ f'(x_0)(x-x_0)

بۆ هه‌موو ژماره‌یه‌كی نزیك له‌ x_{0}. وه‌ به‌مجۆره‌ نزیكردنه‌وه‌یه‌ ده‌وتریت نزیكردنه‌وه‌ی هێڵی.

تێبینی: گه‌ر هاتوو ژماره‌كه‌ نزیك نه‌بیت له‌ x_{0} ئه‌وا ئه‌م ته‌قریبكردنه‌ باش نیه‌، وه‌ سودی نیه‌ به‌كاریبهینین.

Advertisements

One thought on “كۆساینی شه‌ش ده‌كاته‌ چه‌ند؟

وەڵامێک بنووسە

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / گۆڕین )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / گۆڕین )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / گۆڕین )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / گۆڕین )

Connecting to %s